オッズ比：「何倍なりやすい」と読めるか

あることが起こる確率が90%のとき、起こる確率と起こらない確率の比であるオッズは9になります。確率が10%ならオッズは0.111で、確率とほとんど変わりませんが、95%では19です。確率が大きくなるとオッズが急に大きくなるこの性質が、オッズ比の読み違いにつながります。

論文に「オッズ比2.25（95%信頼区間1.23〜4.13）」と書かれていたとき、これを「2.25倍なりやすい」と読めるのでしょうか。

この記事の要約（押すと開閉します）

• 定義：2つの群のオッズの比。リスク比とは別の指標で、そのまま「何倍なりやすい」とは読めない。結果がまれなときに限り、リスク比の近似として読める
• 生まれた経緯：1900年にYuleが係数Qを示した。1950年の喫煙と肺がんの症例対照研究の翌年、Cornfieldが、病気がまれならオッズ比で病気の割合の比を近似できると示した。1955年にWoolfが対数オッズ比とその分散を、1959年にMantelとHaenszelが層のまとめ方を示した。1967年に多重ロジスティック関数の解析、1998年にリスク比を近似する式が続いた
• オッズ：起こる確率pと起こらない確率の比で、p÷(1−p)。pが小さければpとほぼ同じで、50%で1、90%で9と、大きいほど離れる
• 求め方と読み方：2×2表で(a×d)÷(b×c)。どちら向きでも同じ値。1なら関連がなく、1より大きければ曝露ありの群で結果のオッズが大きい。観察研究では因果までは示さない
• 症例対照研究で使う理由：通常は研究者が人数を決めるので、発症の割合もリスク比も計算できない。オッズ比は対照の人数に左右されず、病気がまれならリスク比に近い。対照の選び方しだいで、まれでなくてもリスク比や発生率の比を推定できる
• リスク比との違い：結果がよく起こるほど、オッズ比はリスク比より1から遠い。割合が10%を超えると、調整オッズ比は近似にならないと指摘されている。リスク比に換算する式を調整オッズ比に使うのは誤りとする論文もある
• 信頼区間：母集団のオッズ比として考えられる値の範囲。1を含まなければ5%水準で有意。対数の目盛りで左右対称で、最も小さいセルの人数が幅を左右する
• 調整オッズ比：ロジスティック回帰で、ほかの要因をそろえたオッズ比。これも結果がよく起こるとリスク比より1から離れるので、結果の割合を確かめる

オッズ比とは

オッズ比（odds ratio）は、2つの群のオッズの比で、曝露と結果の関連の強さを表す指標です。オッズは、あることが起こる確率と、起こらない確率の比です。曝露は、喫煙のように、結果に関わると考えられる要因を指します。

病気になった症例と、ならなかった対照を集めて、過去の曝露を比べる研究を、症例対照研究と呼びます。ケースコントロール研究とも呼ばれます。症例対照研究では、関連の強さを表す指標として、オッズ比が選ばれます⁠^[1]。結果が起こるか起こらないかを複数の要因で説明するロジスティック回帰でも、結果はオッズ比で示されます。

オッズ比はリスク比とは別の指標なので、そのまま「何倍なりやすい」と読むことはできません。リスク比は、2つの群で、一定期間に結果が起こった人の割合を比べた比で、相対危険度とも呼ばれます。結果がまれなときに限り、オッズ比はリスク比に近い値になり、リスク比の近似として解釈できます。結果がよく起こるほど、オッズ比はリスク比から離れます⁠^{[1, 2]}。

オッズ比が生まれるまで

いまのオッズ比の使い方には、症例対照研究から関連の強さを推定する考え方、対数を使った信頼区間、ほかの要因をそろえる回帰の方法が含まれています⁠^{[3, 4]}。

図1　オッズ比が生まれるまでの主な出来事。矢印の左はそのとき問題になったこと、右はそれに答えた方法。緑は、いまのオッズ比の使い方のもとになった段階

George Udny Yule（ジョージ・ユール）は、スコットランド生まれの統計学者です。Yuleは1900年の論文で、2つの属性の関連の測り方を調べました⁠^[5]。2×2表の4つの人数をa、b、c、dとすると、Yuleが定めた関連の係数はQ＝(a×d−b×c)÷(a×d＋b×c)です。Qは、オッズ比(a×d)÷(b×c)を簡単に変形した値です⁠^[3]。

英国と米国では、肺がんによる死亡が大きく増えていました⁠^[6]。英国のDoll（ドール）とHill（ヒル）は1950年、喫煙と肺がんの関連を調べた症例対照研究を報告しました⁠^[7]。当時は、オッズ比を計算して解釈する方法がありませんでした。その方法があれば、この研究は、紙巻きたばこを吸う人の相対危険度を、吸ったことのない人と比べて14と報告していただろう、とする論説があります⁠^[6]。

症例対照研究からは、症例と対照のそれぞれで曝露のあった人の割合は分かりますが、病気になる人の割合は分かりません⁠^{[1, 3]}。米国の統計学者Jerome Cornfield（ジェローム・コーンフィールド）は1951年、こうしたデータから、病気の割合を比べる方法を示しました⁠^{[8, 9]}。

Cornfieldは、病気がまれなら、曝露のある人とない人で病気の人の割合を比べた比が、オッズ比で近似できることを示しました⁠^[3]。この前提は、まれな病気の仮定と呼ばれ、歴史的にはCornfieldが初めて示したものとされています⁠^[10]。症例対照研究の結果を関連の強さの数で表す方法も、一般にCornfieldのものとされます⁠^[3]。

ただし、Cornfieldの論文は、ほかの要因による見かけの関連、つまり交絡を、はっきりとは扱っていませんでした⁠^[3]。歴史的には、交絡の要因がそろった層に分けることが、交絡を抑える最も重要な方法の一つでした。層ごとの関連がおおむね同じなら、まとめた関連の強さと信頼区間が必要になります⁠^[4]。

Woolf（ウルフ）は1955年、血液型と病気の関係を推定する論文で、層ごとのオッズ比の対数を重みつきで平均する方法を示しました⁠^{[4, 11]}。オッズ比の対数を使うと、その分散は、標本が大きければ4つのセルの人数の逆数の和で見積もれます⁠^[4]。ただし、この重みつき平均は、人数の少ない層が多いと偏りが大きく、一般には勧められないとする教科書もあります⁠^[4]。

1959年には、Mantel（マンテル）とHaenszel（ヘンツェル）が症例対照研究の交絡を論じ、層ごとのオッズ比をまとめる別の方法を示しました⁠^[3]。この方法は、症例対照研究の記事で説明しています。

1960年代の初めには、心臓や血管の病気の疫学で、多くの要因の扱いが問題になっていました。要因が10個で、それぞれを3段階に分けると、組み合わせは59,049通りになり、層に分ける方法だけでは使える場面が限られます⁠^[3]。

1967年、Truett（トゥルエット）、Cornfield、Kannel（カネル）は、多重ロジスティック関数を使った解析を示しました。この関数は、複数の要因から病気の起こる確率を表す式です。データには、Framingham（フラミンガム）研究の結果を使いました。各要因の係数は、ほかの要因をすべて一定にしたときの効果の推定値だと明記しています。ただし、係数とオッズ比の関係は論じていませんでした⁠^[3]。

ロジスティック回帰は、コホート研究や臨床試験でよく使われています。ほかの要因をそろえて求めたオッズ比を、調整オッズ比と呼びます。1998年の論文は、結果の起こる割合が10%を超えるほど大きいと、調整オッズ比はリスク比の近似にならないと指摘しました。そして、リスク比を近似的に求める方法を示しました⁠^[2]。

病気がまれならオッズ比がリスク比に近い値になる点は、Cornfieldが示した近似と同じです⁠^[10]。オッズ比の信頼区間の求め方は、Woolfの論文にもとづく方法として紹介されています⁠^[4]。係数を、ほかの要因を一定にしたときの効果と解釈する点は、1967年の解析にあります⁠^[3]。リスク比を近似する式は、1998年の論文にあります⁠^[2]。

オッズと確率の違い

オッズは、あることが起こる確率と、起こらない確率の比です。サイコロを1回振って6が出る確率は1/6、出ない確率は5/6なので、6が出るオッズは(1/6)÷(5/6)＝1/5＝0.2です。確率をpとすると、オッズはp÷(1−p)で表せます。

確率とオッズは、pが小さいうちはほぼ同じ値ですが、pが大きくなるほど離れます。pが1%ならオッズは0.0101、10%なら0.111です。pが大きくなると、分母の1−pが小さくなるので、オッズは急に大きくなります。pが50%でオッズは1、80%で4、90%で9、95%では19です。この性質が、オッズ比の読み違いにつながります。

オッズ比の求め方と読み方

オッズ比は、曝露の有無と結果の有無で作った2×2表から、(a×d)÷(b×c)で求めます⁠^[1]。症例と対照、曝露ありと曝露なしで人数を4つに分けると、図2のようになります。

図2　オッズ比を求めるための2×2表。a〜dは、症例か対照かと、曝露の有無に当てはまる人数

表を横に見ると、症例で曝露ありとなしの比、つまり曝露のオッズはa÷b、対照ではc÷dです。オッズ比はその比で、(a÷b)÷(c÷d)＝(a×d)÷(b×c)となります。

表を縦に見ると、曝露ありの群の症例と対照の比はa÷c、曝露なしの群ではb÷dです。全員を追跡した研究の表なら、この比は病気になるオッズにあたります。この2つの比をとっても、(a÷c)÷(b÷d)＝(a×d)÷(b×c)で、同じ値になります。どちらの向きに比べても同じ値になる性質が、オッズ比を特別な指標にしています。

オッズ比が1なら、曝露の有無と結果の有無に関連はありません。1より大きければ曝露ありの群のほうが結果のオッズが大きく、1より小さければ小さいことを示します。ただし、観察研究のオッズ比は関連を示すだけで、それだけで曝露が結果を引き起こしたとはいえません。

症例対照研究でオッズ比を使う理由

通常の症例対照研究では、症例と対照の人数を研究者が決めるので、結果が起こった人の割合もリスク比も計算できません⁠^[1]。一方、オッズ比は計算でき、対照の人数を変えても値が変わりません。

DollとHillの研究では、肺がんの患者1人ごとに、対照を1人選びました。対照は、同じ病院に同じ時期に入院した、性別と5歳刻みの年齢が同じで、がん以外の病気の患者です⁠^[7]。肺がんの男性649人のうち、たばこを吸わない人はわずか2人で、対照の男性649人では27人でした（表1）。

男性	喫煙者と非喫煙者
症例：肺がんの患者649人	喫煙者647人 非喫煙者2人、0.3%
対照：がん以外の病気の患者649人	喫煙者622人 非喫煙者27人、4.2%

表1　DollとHillの研究の男性の結果（文献7をもとに作成）

表1から、喫煙者のうち肺がんになった人の割合を計算することはできません。症例と対照の人数は研究者が649人ずつと決めたもので、対照を2倍集めれば、表から計算する割合も変わってしまうからです。それでも、オッズ比なら計算できます。症例での喫煙のオッズは647÷2＝323.5、対照では622÷27≒23.0で、オッズ比は(647×27)÷(2×622)≒14.0です。

対照の人数を変えてもオッズ比が変わらないことを、架空の町で確かめます（図3）。人口10万人の町で、喫煙者2万人と非喫煙者8万人を追跡し、喫煙者の1%にあたる200人、非喫煙者の0.1%にあたる80人が病気になったとします。このように集団を追跡する研究を、コホート研究と呼びます。発症した割合の比であるリスク比は10、オッズ比は10.1です。

図3　対照の人数とオッズ比。架空の例で、人口10万人の町で、喫煙者の1%、非喫煙者の0.1%が病気になるとした。症例対照研究では、症例と対照の人数を研究者が決めるので、表から「発症した割合」は計算できない。オッズ比は対照の人数に左右されず、町の全員を追跡したときのオッズ比と一致する

次に、同じ町で症例対照研究をします。病気になった280人全員を症例とし、病気にならなかった人から277人を無作為に選んで対照にします。対照は、喫煙者55人、非喫煙者222人になる見込みです。オッズ比は(200×222)÷(80×55)≒10.1で、町全体のオッズ比と一致します。

対照を2倍の554人にしても、喫煙者110人、非喫煙者444人となり、オッズ比は同じ10.1です。一方、この表から喫煙者のうち病気になった割合を計算すると、対照が277人のときは78%、554人のときは65%です。非喫煙者の値との比も、3.0と4.2に変わってしまいます。

対照の人数を変えると、対照の行の喫煙者と非喫煙者は、同じ倍率で増えたり減ったりします。オッズ比の式(a×d)÷(b×c)では、対照の2つの数cとdが分子と分母に1つずつ入っているので、この倍率は打ち消し合います。割合の計算では症例と対照を足し合わせるので、この打ち消しが起こりません。

病気がまれなときは、症例対照研究のオッズ比はリスク比に近い値になります⁠^[1]。この町では病気が1%と0.1%とまれなので、オッズ比10.1はリスク比10に近い値になりました。病気にならなかった人は19,800人と79,920人で、全体の2万人と8万人とほとんど変わらないからです。これが、まれな病気の仮定です。

ただし、対照の選び方によっては、病気がまれでなくても、リスク比や発生率の比を推定できます⁠^{[12, 13]}。症例対照研究の基本を解説した論文は、いま発表されている症例対照研究の大部分では、まれな病気の仮定は必要ないと述べています⁠^[10]。発生率は、病気が起きた数を、観察した期間の合計で割った値です。

実際のデータを使った研究では、研究の開始時の集団全体から対照を選ぶと、オッズ比はリスク比のよい近似になりました。症例が出るたびにその時点の集団から対照を選ぶと、オッズ比は発生率の比をよく推定しました⁠^[13]。

オッズ比とリスク比の違い

結果の起こる割合が大きいと、オッズ比はリスク比より1から遠い値になります⁠^[2]。その例として、1999年に米国の医学雑誌に載った、胸痛の患者を心臓カテーテル検査に紹介するかどうかを調べた研究があります。

Schulman（シュルマン）らは、俳優が患者を演じた面接の録画を720人の医師に見せ、患者を心臓カテーテル検査に紹介するかどうかを尋ねました⁠^[14]。分析では、冠動脈疾患がある確率についての医師の見積もり、患者の年齢、冠動脈のリスク、胸痛の種類、運動負荷試験の結果を調整しました。このロジスティック回帰で、女性の患者と黒人の患者のオッズ比は、どちらも0.60（95%信頼区間0.4〜0.9）でした⁠^[14]。

Schulmanらの結果は、「黒人と女性は紹介される割合が40%少ない」と伝えられました⁠^[15]。同じ年、Schwartz（シュワルツ）らは同じ雑誌で、この伝え方は誤りだと指摘しています⁠^[16]。

紹介された割合は、黒人の患者で約85%、白人の患者で約91%でした⁠^{[15, 16]}。割合の比は約0.93で、紹介は約7%少ないだけです（筆者の計算）。白人の男女と黒人の男性では紹介された割合は同じで、黒人の女性だけが低くなっていました⁠^[15]。

図4　割合が大きいときの、割合の比とオッズの比。オッズは割合÷(1−割合)。心臓カテーテル検査に紹介された割合の例で、割合は四捨五入した値（文献16をもとに作成）。論文で報告されたオッズ比0.6は、ほかの要因を調整したロジスティック回帰による値

紹介された割合が90%前後と大きかったため、割合の比0.93とオッズ比0.6は大きく異なりました。割合が大きいと、オッズの分母である「紹介されなかった割合」が小さくなります。紹介されなかった割合は約15%と約9%で、こちらは1.6倍以上違います（筆者の計算）。オッズの比はこの違いを強く反映するので、割合の比よりもずっと1から離れました（図4）。

結果の起こる割合が10%を超えるほど大きいと、ロジスティック回帰で得た調整オッズ比は、リスク比の近似にならないと指摘されています⁠^[2]。結果がよく起こるほど、オッズ比は、1より大きいときにはリスク比を過大に、1より小さいときには過小に見積もります⁠^[2]。結果がまれなときには、オッズ比を「何倍なりやすい」の近似として解釈できます。

オッズ比からリスク比を近似的に求める式も示されています⁠^[2]。比較の基準となる曝露なしの群で結果が起こる割合をP0とすると、リスク比はオッズ比÷{(1−P0)＋P0×オッズ比}です。たとえばオッズ比2は、P0が1%ならリスク比1.98、10%なら1.82、30%なら1.54にあたります（筆者の計算）。ただし、この式を調整オッズ比に当てはめる使い方は誤りだ、とする論文もあります⁠^[17]。

オッズ比の信頼区間の読み方

オッズ比の95%信頼区間は、母集団のオッズ比として考えられる値の範囲を示します。標本から推定したオッズ比には偶然による誤差があり、区間の幅はその大きさを表します。個々の対象者のデータの散らばりを示すものではありません。信頼区間の意味は、95%信頼区間の記事で説明しています。

区間が1をまたがなければ、つまり1を含まなければ、5%水準で有意な関連があるといえます。「オッズ比2.25（95%信頼区間1.23〜4.13）」の区間は1を含まないので、有意な関連です。ただし、結果がまれでなければ、2.25をそのまま「2.25倍なりやすい」と読むことはできません。

区間の両端を見ると、2.25÷1.23≒1.83、4.13÷2.25≒1.84で、推定値から下へも上へも同じ倍率だけ離れています。オッズ比の信頼区間は、オッズ比の対数をとって計算するので、対数の目盛りで左右対称になります。ふつうの目盛りでは、上側が長くなります（図5）。

図5　オッズ比の95%信頼区間。横軸は対数目盛りで、四角は推定したオッズ比、横線は95%信頼区間。上の2つは架空の例。DollとHillの値は、論文の人数から筆者が計算した（文献7をもとに作成）。男性は、肺がんの症例で非喫煙者が2人しかいないため、区間が広い

推定値のばらつきの目安となる標準誤差は、オッズ比の対数では√(1/a＋1/b＋1/c＋1/d)で見積もります⁠^[4]。この計算は、Woolfの1955年の論文にもとづく方法として紹介されています。ただし、人数が少ないと、この方法で求めた区間は狭すぎることが多い、とする報告があります⁠^[4]。

4つのセルのうち最も小さい人数が、区間の幅を大きく左右します。DollとHillの男性のデータでは、非喫煙者の症例が2人しかいないため、標準誤差を求める√の中の和の大部分を、1/2が占めます。そのため、オッズ比14.0の95%信頼区間は3.3〜59.3と広くなります（筆者の計算）。このようにセルの人数が少ない表では、区間が狭すぎる可能性があります。

女性のデータでは、オッズ比は2.47、95%信頼区間は1.17〜5.19です（筆者の計算）。どちらの区間も1を含みません。男性の比較では、DollとHillは正確確率法でP値を求めています⁠^[7]。正確確率法を使う場面と、カイ二乗検定との使い分けは、Fisherの正確確率検定の記事で説明しています。

ロジスティック回帰の調整オッズ比

ロジスティック回帰で、ほかの要因の影響をそろえて求めたオッズ比を、調整オッズ比と呼びます。ロジスティック回帰は、紹介するかしないかのように、結果が起こるかどうかを複数の要因で説明する回帰分析の一つです。各要因の係数から、ほかの要因をそろえたときのオッズ比が求められます。心臓カテーテル検査の研究は、ロジスティック回帰で分析したので、結果をオッズ比で報告しています。

調整オッズ比も、結果がよく起こる研究では、リスク比より1から離れた値になります⁠^[2]。調整オッズ比は、調整に入れた要因の影響をそろえた関連を示します。それでも、論文でオッズ比を見たら、結果がどのくらいの割合で起きているかも確かめる必要があります。

まとめ

オッズは確率pと1−pの比で、オッズ比は2つの群のオッズの比です。オッズ比はリスク比とは別の指標で、そのまま「何倍なりやすい」とは読めません。結果がまれなときに限り、オッズ比はリスク比に近い値になり、その近似として解釈できます。

通常の症例対照研究では、症例と対照の人数を研究者が決めるので、発症した割合もリスク比も計算できません。しかし、オッズ比は対照の人数に左右されず、病気がまれならリスク比に近い値になります。「結果がまれなら」という条件は、1951年にCornfieldが症例対照研究のために置いた前提と同じです⁠^[10]。

結果がよく起こる場合には、オッズ比はリスク比より1から遠くなり、「何倍なりやすい」と読むと、関連を実際より強く見積もります。オッズ比を読むときは、結果の起こる割合と、信頼区間が1を含むかどうかをあわせて確かめます。基準となる群で結果が起こる割合がわかれば、オッズ比からリスク比のおよその値を見積もれます⁠^[2]。

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