Shapiro-Wilk検定：正規分布かどうかは検定でわかるか

身長は正規分布する――統計の教科書でおなじみの例です。ところが、ある施設に勤める男性職員620人の身長（模擬データ）をSPSSで2つの正規性の検定にかけると、答えが割れました。Kolmogorov-Smirnov（コルモゴロフ・スミルノフ）検定は、「正規分布ではない」と判定しました（p < 0.001）。Shapiro-Wilk（シャピロ・ウィルク）検定は、「正規分布から外れているとはいえない」と判定しました（p = 0.059）。

Shapiro-Wilk検定の判定だけを見れば、このデータは正規分布と考えてよさそうに見えます。データが正規分布かどうかは、検定でわかるのでしょうか。

この記事の要約（押すと開閉します）

• 定義：データが正規分布から外れているかどうかを調べる検定。帰無仮説は「データは正規分布に従う」。t検定などのパラメトリック検定の前提を確かめるときに使う。対象は間隔尺度・比率尺度の連続したデータ
• 生まれた経緯：1960年代、米国のベル研究所のWilkらは、データが正規分布などに従うかを診断するために、小さい順に並べた値を使う図と検定を考えた。検定は1965年にShapiroとWilkが発表し、図は1968年にQ-Qプロットとして発表された。1965年の検定は標本の大きさが50までに限られていたが、1982年と1992年にRoystonが、大きな標本でも計算できる近似を示した
• 求め方：データを小さい順に並べ、正規分布から予想される並び方にどれだけよく沿うかをW統計量で表す。Wは1に近いほど正規分布に近い。統計ソフトは、Wを人数に応じてp値に換算して示す
• 結果の読み方：p < 0.05なら「正規分布ではない」と判断する。p ≧ 0.05は「正規分布から外れているとはいえない」という意味で、正規分布であることの証明にはならない
• 限界：人数が少ないと外れを見逃しやすく、多いとわずかな外れでも有意になる。ヒストグラムやQ-Qプロットとあわせて判断する
• ほかの検定との違い：Kolmogorov-Smirnov検定より検出力が高く、まず使う検定として推奨されている。Kolmogorov-Smirnov検定は、正規性の確認にはすすめられない
• 使い方：正規性は図と検定の両方で確かめる。解析方法は、検定のp値だけでなく、人数や測定値の性質もあわせて考えて選ぶ
• SPSSでの手順：分析 → 記述統計 → 探索的 → 作図 →「正規性の検定とプロット」にチェック
• 結果の書き方：SAMPLは、検定の前提が満たされていたこと、検定の名前、p値、統計ソフトの名前を書くよう求めている。正規性では、図の種類と見えたこと、W、人数、p値も書く

Shapiro-Wilk検定とは

Shapiro-Wilk検定は、データが正規分布から外れているかどうかを調べる検定です。帰無仮説は「データは正規分布に従う」で、検定が有意なら、正規分布ではないと判断します⁠^[1]。t検定や分散分析などのパラメトリック検定は、データが正規分布に従うことを前提にしています。正規性の検定は、この前提を確かめるときに使われます⁠^[1]。

対象になるのは、身長や体重のような間隔尺度・比率尺度の連続したデータです。名義尺度や、段階の少ない順序尺度には向きません。尺度の違いは、統計データの尺度水準の記事で説明しています。

Shapiro-Wilk検定が生まれるまで

Shapiro-Wilk検定は、小さい順に並べたデータに分布の性質が表れるという考えを、1つの値で判定する検定の形にしたものです⁠^[2]。その後、対象者数が多くても計算できるように、近似の方法が加えられました⁠^[3]。図1に、主な出来事を年の順に示します。

図1　Shapiro-Wilk検定が生まれるまでの主な出来事。矢印の左はそのとき問題になったこと、右はそれに答えた方法。緑は、いまの手順のもとになった段階

Martin Wilk（マーティン・ウィルク）は、米国のベル研究所の統計学者でした。Wilkによると、1960年代の研究の多くは、ベル研究所で受けた統計の相談から生まれました。なかでも主な関心は、データが正規分布などの分布に従っているかを診断する方法でした⁠^[2]。

Wilkは、もとはカナダの化学技術者でした。1945年からは原子力の研究所で実験用の重水炉の装置を試験し、ばらつきの大きいデータを扱う方法を自分で工夫しました。その後、米国で統計学を学び、1956年にベル研究所に加わりました⁠^[2]。

ベル研究所でWilkは、データを小さい順に並べた値のふるまいには、分布の性質が表れるはずだと考えました。Wilkは、同僚のRam Gnanadesikan（ラム・グナナデシカン）らとともに、この性質を使った図と検定を考えた、と振り返っています⁠^[2]。この図は、1968年にWilkとGnanadesikanが、Q-Q（キュー・キュー）プロットとして論文にまとめました⁠^[4]。

Wilkは、正規分布などの分布を診断する方法を求めるなかで、Samuel Shapiro（サミュエル・シャピロ）とともに検定を考えたと述べています⁠^[2]。2人は1965年、この検定を統計学の雑誌Biometrika（バイオメトリカ）に発表しました⁠^[5]。この検定は、小さい順に並べたデータからWという値を求めて判定します⁠^[6]。

Shapiroは、Wilkが米国のラトガース大学で教えた学生で、Wilkが博士論文を指導しました。Wilkは、検定のもとになる考えは自分のものだったと振り返っています。そのうえで、Shapiroが、検出力の比較と、帰無仮説のもとでのWの分布の近似によって、検定を大きく発展させたと述べています⁠^[2]。

Wilk自身は、この論文をそれほど大きな業績とは考えていないと語りました。そして、有意性検定は理にかなったことを考えつこうとしているあいだにやっておくものだ、という口癖を添えました⁠^[2]。

1965年に示されたWは、標本の大きさが3〜50の場合にしか使えませんでした⁠^[3]。1982年には、英国の医学研究評議会にいたRoyston（ロイストン）が、標本の大きさが2,000まで使えるようにWを広げました。あわせて、コンピュータで計算できる近似の式も示しました⁠^[3]。1992年には、標本の大きさが4以上ならどの大きさにも使える係数の近似と、Wからp値を簡単に求める式を示しました⁠^[7]。

次の節で説明する求め方のうち、小さい順に並べたデータを正規分布と比べてWを求める考え方は、ShapiroとWilkの1965年の論文に由来します⁠^{[5, 6]}。Wilkによれば、この考え方は、Q-Qプロットと同じ見方から生まれました⁠^[2]。Roystonの近似によって、標本の大きさが50を超えるデータでも、Wからp値を求められるようになりました⁠^{[3, 7]}。

Shapiro-Wilk検定の求め方

W統計量は、小さい順に並べたデータが正規分布から予想される並び方に沿う程度を表し、1に近いほど正規分布に近いことを示します⁠^[6]。先に述べたように、Shapiro-Wilk検定の考え方は、Q-Qプロットと同じ見方にもとづいています。

Q-Qプロットは、データを小さい順に並べ、それぞれを「正規分布なら来るはずの値」と組にして描いた図です。正規分布に近いデータの点は、ほぼ一直線に並びます（図2①）。右に長く裾を引くデータでは、点が弓なりに曲がります（図2②）。

図2　Q-QプロットとW統計量。点が直線に沿うほど、Wは1に近づく（架空のデータ、各40人）

Wは、小さい順に並べたデータに係数を掛けて足し合わせ、その値の2乗を、平均からの偏差の2乗和で割って求めます。係数は、正規分布に従う標本を小さい順に並べた値の、平均、分散、共分散から作ります⁠^[6]。

Wが1からどれだけ離れていれば「正規分布ではない」と判断するかは人数によって違うので、統計ソフトはWをp値に換算して示します⁠^[7]。現在の統計ソフトは、数千人規模のデータでもWを計算できます。たとえば統計ソフトのRは、値の数が3〜5,000のデータでWを計算します⁠^[8]。

Shapiro-Wilk検定の結果の読み方

Shapiro-Wilk検定でp ≧ 0.05となっても、データが正規分布であることの証明にはなりません。p値は、帰無仮説と、計算に用いた前提が正しいとしたときに、実際のデータと同じか、それ以上に極端な結果が得られる確率です⁠^[9]。p値の意味と誤解しやすい点は、統計的仮説検定の記事で説明しています。

Shapiro-Wilk検定の帰無仮説は「データは正規分布に従う」です。p < 0.05なら、正規分布に従うと考えるには無理があるとして帰無仮説を棄却し、「正規分布ではない」と判断します⁠^[1]。

p ≧ 0.05の場合には注意が要ります。このときわかるのは、「正規分布から外れているという証拠が十分ではない」ということだけで、「正規分布に従う」ことが示されたわけではありません。帰無仮説は「採択」されたのではなく、「棄却されなかった」にとどまります。男性職員620人の身長のデータのp = 0.059も、「正規分布から外れているとはいえない」と解釈するのが正確です。

Shapiro-Wilk検定の限界

Shapiro-Wilk検定は、人数が少ないと外れを見逃しやすく、人数が多いとわずかな外れでも有意になります⁠^[1]。図3は、正規分布ではないデータを「正規分布ではない」と判定できた割合を、人数を変えて調べたシミュレーションです。

図3のシミュレーションでは、強くゆがんだ分布（歪度1.4）でも、20人で判定できたのは約半分（53%）でした。少ない人数では、検定は外れを見逃しやすいのです。反対に、わずかにゆがんだ分布（歪度0.3）でも、1000人では94%、2000人ではほぼすべての回で「正規分布ではない」と判定されました。

図3　Shapiro-Wilk検定で「正規分布ではない」（p < 0.05）と判定された割合。わずかなゆがみは歪度0.3、強いゆがみは歪度1.4（各人数で2000回ずつ、ガンマ分布と正規分布からデータを作って検定したシミュレーション）

人数が多いときに見つかる小さな外れは、t検定などのパラメトリック検定の結果にはほとんど影響しないとされます⁠^[1]。30〜40人以上の標本では、中心極限定理によって平均値の分布が正規分布に近づくからです⁠^[1]。このように、正規性の検定は、少ない人数では外れを見逃し、多い人数ではささいな外れに反応します。そのため、p値だけで判断せず、ヒストグラムやQ-Qプロットで外れの大きさを確かめます。

Shapiro-Wilk検定とほかの検定の違い

Shapiro-Wilk検定は、Kolmogorov-Smirnov検定より外れを見抜く力（検出力）が高く、まず使う検定として推奨されています⁠^[1]。米国国立標準技術研究所（NIST）の統計の手引きも、ほかの適合度の検定と比べた研究で成績がよかったとしています⁠^[6]。正規性の検定にはいくつも種類があり、データのどこを見ているかが違います（表1）。

検定	何を見ているか、特徴
Shapiro-Wilk検定	小さい順に並べたデータと、正規分布から予想される値との一致を見る。検出力が高く、まず使う検定として推奨されている
Lilliefors（リリフォース）の修正を加えたKolmogorov-Smirnov検定	データの累積分布と、正規分布の累積分布のずれの最大値を見る。検出力が低く、正規性の確認にはすすめられない
Anderson-Darling（アンダーソン・ダーリング）検定	累積分布のずれを、分布の裾に重みをつけて評価する。裾の外れに敏感
D'Agostino-Pearson（ダゴスティーノ・ピアソン）検定、Jarque-Bera（ジャック・ベラ）検定	歪度（ゆがみ）と尖度（とがり）から判定する

表1　主な正規性の検定（文献1、6、10–12をもとに作成）

620人ものデータでは、どの検定もわずかな外れに反応しうるうえ、検定ごとにデータのどんな特徴に敏感かが違います⁠^[12]。そのため、男性職員の身長のように、2つの検定の結論が分かれることがあります。

Kolmogorov-Smirnov検定は検出力が低く、正規性の確認にはすすめられていません⁠^[1]。どちらのp値を信じるかよりも、図で外れの大きさを確かめ、それが使う解析にとって問題になる外れかを考えることが大切です。

Shapiro-Wilk検定の使い方

正規性は、図と検定の両方で確かめるのが望ましいとされます⁠^[1]。「正規性の検定で有意でなければt検定、有意ならMann-Whitney（マン・ホイットニー）のU検定」という手順があります。この2段階の手順は、臨床研究で広く使われています⁠^[13]。

Rochon（ロション）らは2012年に、この2段階の手順をシミュレーションで調べました。前段の正規性の検定でデータがふるい分けられるため、その後のt検定やU検定では、第1種の過誤の確率が本来の値から大きくずれていました。第1種の過誤は、本当は差がないのに差があると判定する誤りです。ただし、2段階の手順全体で見ると、第1種の過誤の確率と検出力は許容できる範囲に収まっていました⁠^[13]。

2段階の手順の数値の例は、2標本t検定の記事で説明しています。

解析方法を選ぶときは、検定のp値に加えて、人数や、測定値の性質（入院日数のように、もともと右に裾を引きやすいかどうか）もあわせて考えます。t検定などのパラメトリック検定と、U検定などのノンパラメトリック検定の使い分けは、パラメトリック検定とノンパラメトリック検定の記事で説明しています。正規分布を仮定しない2群の比較は、Mann-WhitneyのU検定の記事で説明しています。

SPSSでの手順と出力の見方

SPSSでは、「探索的」の「作図」で「正規性の検定とプロット」を選ぶと、Shapiro-Wilk検定の結果が出力されます⁠^[1]。620人の身長のデータ（模擬データ）を使って、SPSSでShapiro-Wilk検定を行う手順を示します。

1. データをSPSSに読み込みます。
2. メニューの「分析 → 記述統計 → 探索的」を選びます（図4）。
3. 「身長」を「従属変数」に移します（図5①）。
4. 「作図」をクリックし、「正規性の検定とプロット」にチェックを入れます（図5②）。
5. 「続行」で作図のダイアログを閉じ（図5③）、「OK」を押すと検定が始まります（図5④）。
6. 出力の「正規性の検定」の表で、Shapiro-Wilkの「有意確率」を確認します（図6）。

図4　「探索的」を選ぶ

図5　変数を移し、「正規性の検定とプロット」にチェックを入れる

図6　正規性の検定の出力

この例では、Shapiro-Wilkの有意確率は.059なので、「正規分布から外れているとはいえない」と判断します。同じ表の左側には、Lilliefors の修正を加えたKolmogorov-Smirnov検定の結果も表示されます。p < 0.001とp = 0.059という判定の食い違いは、この表の左右で起きていたものです。

「正規性の検定とプロット」にチェックを入れると正規Q-Qプロットも出力されるので、あわせて点が直線に沿っているかを確かめます。

結果の書き方

医学論文の統計の報告指針であるSAMPL（サンプル）は、検定の前提がデータで満たされていたことを示すよう求めています⁠^[14]。SAMPLは、使った検定の名前と、解析に使った統計ソフトの名前を書くことも求めています。p値についてSAMPLは、できるだけ「p = 0.03」のように値で示し、小数点以下1〜2桁とするよう求めています。0.001未満のときは「p < 0.001」と書きます⁠^[14]。

正規性を確かめた場合は、見た図の種類と図で見えたこと、検定の名前、W、人数、p値を書くと、読者が判断を確かめられます⁠^[1]。SPSSの正規性の検定の表の「自由度」には、人数が表示されます⁠^[1]。SPSSの版によっては、小さい有意確率が「.000」と表示されます。これは0ではなく、0.0005未満という意味なので、p < 0.001と書きます。

620人の身長の例では、SPSSの有意確率.059を小数点以下2桁にまるめて、次のように書きます。

身長の分布は、Shapiro-Wilk検定で正規分布から外れているとはいえなかった（W = 0.995、n = 620、p = 0.06）。統計解析にはSPSSを用いた。

実際の論文では、ヒストグラムやQ-Qプロットで見えたことも、あわせて書きます。

まとめ

Shapiro-Wilk検定は、データを小さい順に並べて正規分布と比べ、外れがあるかを調べる検定です。この形は、並べた値に分布の性質が表れるというWilkの考えから生まれたもので、Q-Qプロットと同じ見方にもとづいています。

データが正規分布かどうかは、検定だけではわかりません。p < 0.05なら「正規分布ではない」と判断できますが、p ≧ 0.05は正規分布の証明ではありません。620人の身長のp = 0.059も、正規分布であることを示してはいません。人数が少ないと外れを見逃し、多いとささいな外れにも反応するので、ヒストグラムやQ-Qプロットとあわせて判断します。

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