データの代表値と散布度：平均だけで集団を表せるか

4,000人あまりの男性の身体計測の記録から、平均的な体格の人を探したところ、誰も見つかりませんでした。この分析は、米空軍の研究所に所属していた中尉のGilbert Daniels（ギルバート・ダニエルズ）が行いました。対象は、飛行任務に就く米空軍の男性です。Danielsは、まず身長が平均値に近い人を選び、そこから胸囲、袖の長さの順に、平均値に近いという条件を加えて絞り込みました。「平均に近い」とする範囲は、どの寸法でも、集団の4分の1以上の人が入るほど広く取られていました⁠^[1]。

平均値は、どの寸法でも計算できます。しかし、すべての寸法が平均値に近い人は、この集団に1人もいませんでした。平均値のほかにどのような値を示せば、集団の特徴を伝えられるのでしょうか。

この記事の要約（押すと開閉します）

• 定義：代表値はデータの中心的な位置を、散布度はデータのばらつきの大きさを、それぞれ1つの数値で表す。どちらも、データの特徴を要約する記述統計量
• 平均値だけでは不十分：平均値だけでは、個々の値がそこからどれだけ離れているかがわからない。米空軍の4,063人では、10の寸法のすべてが平均値に近い人は0人だった
• 生まれた経緯：1835年にQueteletが、集団の平均にあたる架空の人を「平均人」と呼んだ。天文学の観測の考え方を人の集団に当てはめたもの。1889年にGaltonが、平均だけでは足りないとして、中央値と、4等分する位置の値から求めた散らばりの目安Qを用いた。1894年にPearsonが標準偏差、1918年にFisherが分散という語を論文で用いた。1977年にTukeyが、中央値と箱で分布を表し、外れ値の候補も示す箱ひげ図を本で定義した
• 代表値：平均値、中央値、最頻値、トリム平均など。平均値は外れ値の影響を受けやすく、中央値は受けにくい
• 散布度：範囲、四分位範囲、分散と標準偏差、変動係数など。標準偏差は平均値と、四分位範囲は中央値と組み合わせて用いる
• 使い分け：正規分布に近いデータでは平均値と標準偏差を、歪んだ分布など正規分布に従わないデータでは中央値と四分位範囲を示す。尺度水準によっても、使える値は異なる
• 標準偏差と標準誤差：標準偏差は個々の値のばらつきを、標準誤差は標本平均の精度を表す。データのばらつきを示すときは、標準誤差ではなく標準偏差を用いる

データの代表値と散布度とは

代表値はデータの中心的な位置を、散布度はデータのばらつきの大きさを、それぞれ1つの数値で表す値です。どちらもデータの特徴を要約する値で、記述統計量と呼ばれます。代表値には平均値や中央値が、散布度には範囲や標準偏差があります。

医学論文における統計の報告方法を示した指針に、SAMPL（サンプル）があります。SAMPLは、データを平均値と標準偏差、または中央値と四分位範囲などの組み合わせで要約するよう求めています⁠^[2]。代表値だけでは、個々の値がどれだけ散らばっているかはわかりません。

Danielsの報告は、平均値に近い人がどれほど少ないかを、米空軍の身体計測調査のデータで示しました。対象は、1950年の調査で測定された、飛行任務に就く男性4,063人です⁠^[1]。

Danielsは、寸法ごとに、平均値から標準偏差の0.3倍以内に入る人を「平均に近い」としました。標準偏差は、ばらつきの指標です。Danielsは、1つの寸法につき、中央の25〜30%ほどの人がこの範囲に入ると記しています⁠^[1]。

身長が平均値に近い人は、4,063人のうち1,055人（26%）でした⁠^[1]。そのうち胸囲も平均値に近い人は302人、さらに袖の長さも平均値に近い人は143人でした。条件とする寸法を1つ加えるごとに該当者は減り、5つ目で28人、8つ目で3人となり、10の寸法すべてでは0人でした（図1）。

Danielsは、「平均的な人」は、多くの場合、設計上の問題の解決にはならないと述べています。そして、設計には平均値ではなく、身体寸法のばらつきの範囲を示すデータを用いるよう勧めています⁠^[1]。

図1　米空軍で飛行任務に就く男性4,063人のうち、平均値に近い範囲に入り続けた人数。寸法ごとに、平均値から標準偏差の0.3倍以内を平均に近いとし、身長、胸囲、袖の長さの順に条件を加えた。横軸の0は全員を表す（文献1をもとに作成）

データの代表値と散布度が生まれるまで

いまの代表値と散布度は、集団を平均で表す考え方に、ばらつきを表す値と、外れ値の影響を受けにくい値や図が加わってできたものです。それぞれの考え方や値は、その時代の別々の問題に答えるために生まれました。

図2　データの代表値と散布度が生まれるまでの主な出来事。矢印の左はそのとき問題になったこと、右はそれに答えた方法。緑は、いまの代表値と散布度のもとになった段階

ベルギーの天文学者Adolphe Quetelet（アドルフ・ケトレー）は、人の行動も決まった法則に従うのかを問いました⁠^[3]。1835年の本で、Queteletは、人を1人ずつ切り離して見ず、人類の一部としてだけ見るべきだと書いています。そうすれば偶然によるものが除かれ、個人の特徴は自然に消えて、全体の結果をとらえられる、という考えです⁠^[3]。

Queteletの専門の天文学では、誤差を含む多くの観測を合わせて、星の位置を求めていました。Queteletはこの考え方を人の集団に当てはめ、個人の違いを観測の誤差のように扱いました⁠^[4]。そして、集団の平均にあたる架空の人を「平均人」と呼び、物体でいえば重心にあたるもの、と書いています⁠^{[3, 4]}。

米国の公衆衛生学者に、Nancy Krieger（ナンシー・クリーガー）がいます。Kriegerは、集団を統計の値で表すいまの見方を、Queteletの平均人にさかのぼるとしています。そのうえで、集団の平均に意味があるかは、集団をどう定めるかによると論じています⁠^[4]。

英国の科学者Francis Galton（フランシス・ゴルトン）は、遺伝を調べていました。Galtonは1889年の本で、統計家がたいてい平均だけを調べ、もっと広く見ようとしない理由がわからない、と書いています。平均は1つの事実にすぎず、もう1つの事実を加えれば、観察された分布にほぼ合う正規分布の形全体が決まる、とも書いています⁠^[5]。

Galtonは、測定値を大きさの順に並べ、中央の位置にある値、つまり中央値で集団の中心を表しました⁠^[5]。そして、全体を4等分した1つ目と3つ目の位置の値からQという値を求め、散らばりの目安としました。Galtonは、Qが、数学者が確率誤差と呼ぶ値とほぼ同じだと書いています⁠^[5]。

英国の統計学者Karl Pearson（カール・ピアソン）は、動物学者のWalter Weldon（ウォルター・ウェルドン）と研究していました。2人は、Charles Darwin（チャールズ・ダーウィン）の進化論の問題を、統計の方法で調べようとしていました。種の集団に注目するこの研究では、変異を系統立てて測る必要がありました⁠^[6]。

Pearsonは1894年の論文で、測った集団が均一でなく、いくつかの群が混じっていると、度数分布が左右非対称になることがある、と書いています⁠^[7]。そこで、左右非対称な度数分布を、2つの正規分布に分ける方法を示しました。それぞれの正規分布は、中心の位置、標準偏差（standard deviation）、面積の3つの値で表されます⁠^[7]。

Pearsonは、確率誤差などより、標準偏差のほうが扱いやすいと書いています⁠^[7]。Pearsonは、この語を前年の1893年の講演で導入していました⁠^[6]。英国の統計学者Ronald Fisher（ロナルド・フィッシャー）は1918年、ばらつきの原因ごとの割合を示すため、標準偏差の2乗を分散と呼びました⁠^[8]。この経緯は、一元配置分散分析の記事で説明しています。

米国の統計学者John Tukey（ジョン・テューキー）は、第二次世界大戦中、プリンストンの射撃管制の研究所で研究していました。研究所の測定値の一部には、正規分布より裾の長いばらつきが見られました⁠^[9]。Tukeyは、正規分布からのずれや外れ値の影響を受けにくい方法に関心をもちました⁠^[9]。戦後は、データの意外な点や仮定からのずれを見つける探索的データ解析を発展させ、1977年に同じ題の本を出版しました⁠^[9]。

Tukeyは、1977年に出版した探索的データ解析の本で、箱ひげ図を定義しました。この本の出版で、箱ひげ図は広く使われるようになりました。似た図は、その20〜30年前にも見られました⁠^[10]。箱ひげ図は、中央値と、中央の半分のデータが入る箱を描き、ほかから離れた値を外れ値の候補として示します。分布の形を仮定せずに使える図です⁠^[11]。

標準偏差という語はPearsonが、分散という語はFisherが導入しました⁠^{[6, 8]}。中央値と、全体を4等分する位置の値で分布を表す方法は、Galtonの1889年の本にも見られます⁠^[5]。統計ソフトのSPSSは、箱ひげ図の箱の端を、Tukeyのヒンジと呼ばれる値で描いています⁠^[12]。

Galtonが書いたように、正規分布では、中心の値にもう1つの値を加えれば、分布の形全体が決まります⁠^[5]。そのため、正規分布に近いデータは、平均値と標準偏差の2つの値で要約できます。一方、Queteletは、平均人を架空の人と書いていました⁠^[3]。Danielsの調査でも、すべての寸法が平均値に近い人はいませんでした⁠^[1]。

代表値の種類と求め方

代表値には平均値、中央値、最頻値などがあり、外れ値から受ける影響の大きさが異なります⁠^[13]。外れ値は、データの主な集まりから大きく離れた値です⁠^[14]。例として、ある病棟に入院した患者40人の在院日数を考えます。説明のための架空のデータで、半数の患者は2週間あまりで退院し、3人だけが2か月を超えて入院しています。

平均値は、すべての値を合計し、値の個数で割った値です⁠^[13]。母集団全体の平均値を母平均、実際に得られた標本の平均値を標本平均と呼んで区別します。母集団と標本の関係は、母集団と標本の記事で説明しています。平均値は、すべての値を用いて計算するので、外れ値の影響を大きく受けます⁠^[15]。この例では、平均値は23.2日でした。

中央値は、平均値とは異なる方法で中心を表します。中央値は、値を小さい順に並べたときに、ちょうど中央に位置する値です。値の個数が偶数のときは、中央の2つの値の平均を中央値とします⁠^[14]。中央値は値の順位だけで決まるので、外れ値の影響を受けにくい値です⁠^[15]。この例では、中央値は15.5日で、平均値より8日近く短くなりました。

値を小さい順に並べ、小さいほうから何%の位置にあるかで決めた値を、パーセンタイルといいます。中央値は50パーセンタイルにあたります。

値ごとの度数を数えて、中心を表す方法もあります。最頻値は、データの中で最も多く現れる値です⁠^[13]。度数を数えれば求められるので、性別や血液型のような名義尺度のデータにも使えます。この例では、在院日数が14日の患者が4人で最も多く、最頻値は14日でした。

平均値を用いながら、外れ値の影響を小さくする方法もあります。トリム平均は、小さいほうと大きいほうから同じ割合の値を除いて求めた平均値です。調整平均とも呼ばれます。NISTの手引きは、両端から5%ずつ除く例を挙げています⁠^[15]。この例で両端から5%ずつ、つまり2人ずつ除くと、トリム平均は20.7日でした。

図3　ある病棟に入院した患者40人の在院日数。上は5日ごとの患者数、下は箱ひげ図。箱の左右の端は、SPSSの箱ひげ図と同じTukeyのヒンジ（データを小さい側と大きい側の半分に分けたときの、それぞれの中央値）で、箱の中の線が中央値。ひげは、箱から箱の長さの1.5倍以内にある最も端の値まで伸ばし、それより外側の値を丸、箱の長さの3倍を超えて離れた値を星印で示した。説明のための架空のデータ

どの代表値を使えるかは、データの尺度水準によっても決まります。中央値は、大小の順序だけを表す順序尺度のデータから使えます。平均値は、差の大きさに意味がある間隔尺度と、0が「何もない」ことを表す比率尺度のデータで使えます⁠^[16]。順序尺度の得点に平均値を用いてよいかについては議論があり、統計データの尺度水準の記事で説明しています。

散布度の種類と求め方

散布度には、範囲、四分位範囲、分散と標準偏差、変動係数などがあります。範囲は、最大値から最小値を引いた値です⁠^[17]。範囲は両端の2つの値だけで決まるので、外れ値の影響を強く受けます⁠^[14]。この例の在院日数は6日から92日で、範囲は86日でした。

値を小さい順に並べて4等分する点を、四分位数といいます。小さいほうから25%の位置が第1四分位数、50%の位置が中央値、75%の位置が第3四分位数です⁠^[14]。四分位範囲は、第3四分位数から第1四分位数を引いた値で、中央の50%の値が含まれる幅を表します⁠^[17]。四分位範囲は中央値と組み合わせて用いられ、外れ値の影響を受けにくい値です⁠^[18]。

英語の論文では、四分位範囲をIQRと略して記載することがあります⁠^[18]。SAMPLは、四分位範囲などについては、幅の大きさだけでなく、下限と上限の値も記載するよう求めています⁠^[2]。四分位範囲の半分を、四分位偏差と呼ぶこともあります⁠^[19]。

四分位数の求め方は1つではありません。統計ソフトR（アール）の説明書は、9通りの求め方を挙げています。Rが初期設定で用いる求め方と、統計ソフトSPSSがパーセンタイルの計算に用いる求め方も異なります⁠^[20]。

在院日数の例の第3四分位数は、SPSSの求め方では26.5日、Rの初期設定の求め方では25.5日でした。SPSSの箱ひげ図は、箱の端をTukeyのヒンジという別の求め方で描くため、この例では箱の右端が26日になります⁠^[12]。四分位数は、使用したソフトによって、わずかに異なる値になることがあります。

標準偏差を求めるには、まず分散を求めます。分散は、個々の値と平均値との差を2乗して合計し、値の個数から1を引いた数で割った値です⁠^[18]。標本から母集団のばらつきを推定するときは、この式を用います。値の個数から1を引いた数で割った分散を、不偏分散とも呼びます⁠^[21]。

一方、データが母集団の全員の値であれば、分散は値の個数で割って求めます⁠^[19]。高校数学の「データの分析」でも、値の個数で割る式を用います。

分散は差を2乗して求めるので、単位も2乗になります。標準偏差は分散の平方根で、ばらつきを元のデータと同じ単位で表します⁠^[18]。英語の論文では、標準偏差をSDと略して記載します⁠^[2]。この例では、標準偏差は19.4日でした。SAMPLは、平均値と標準偏差を「平均（標準偏差）」の形式で記載し、「平均±標準偏差」の形式を用いないよう求めています⁠^[2]。

分散の計算では平均値を用いるので、値の個数から1を引きます。平均値が決まっていると、最後の1つの値は、ほかの値から自動的に決まります。そのため、自由に変わりうる値の数は、値の個数より1つ少なくなります。この数を自由度といいます⁠^[22]。

正規分布は、平均値を中心とする左右対称の釣鐘形の分布です。データが正規分布に従うとき、平均値の前後に標準偏差の1倍ずつの範囲に約68%の値が、2倍ずつの範囲に約95%の値が含まれます⁠^[23]。

単位が異なる値どうしでは、ばらつきの大きさをそのまま比較できません。そのような場合には、変動係数を用います。変動係数は、標準偏差を平均値で割った値です。100を掛けて百分率で表すこともあります⁠^[19]。ただし、変動係数は、値が何倍かを比べることに意味がある比率尺度のデータでしか使えません⁠^[16]。

代表値と散布度の使い分け

正規分布に近いデータでは平均値と標準偏差を、正規分布に従わないデータでは中央値と四分位範囲などを示すことが勧められています⁠^[2]。正規分布に近いかどうかは、まず図3のようなヒストグラムを描き、分布の形を見て判断します。

Shapiro-Wilk（シャピロ・ウィルク）検定のような正規性の検定では、対象者数が少ないと、正規分布からのずれを見逃しやすくなります。一方、対象者数が多いと、ごくわずかなずれでも有意になります⁠^[24]。そのため、正規性の検定は、図の代わりとしてではなく、図と併せて用います。

代表値と散布度の組み合わせ	適したデータと注意点
平均値と標準偏差	正規分布に近い分布を示す、間隔尺度や比率尺度のデータ。外れ値や分布の歪みがあると、どちらも大きく変わる
中央値と四分位範囲	歪んだ分布など正規分布に従わないデータや、外れ値のあるデータ。順序尺度のデータにも使える。四分位範囲は、下限と上限の値も記載する
最頻値と度数	名義尺度のデータ。値ごとの度数や割合と併せて示す
範囲	最小値と最大値を示したいとき。両端の2つの値だけで決まり、外れ値の影響を強く受ける
変動係数	単位の異なる値どうしで、ばらつきの大きさを比較するとき。比率尺度のデータでしか使えない

表1　代表値と散布度の主な組み合わせと、適したデータ（文献2、14、16をもとに作成）

歪んだ分布では、平均値は裾が長く伸びたほうへ引き寄せられます⁠^[15]。分布が大きく歪んでいると、標準偏差も過大になり、ばらつきを適切に表さなくなります⁠^[23]。この例では、平均値の23.2日より在院日数が短い患者が、40人のうち28人いました（図3）。

国の統計でも、平均値が裾の長いほうへ引き寄せられることが見られます。2025年の国民生活基礎調査によると、2024年の1年間の所得は、全世帯の1世帯あたりの平均値が575万2千円で、中央値は451万円でした。ここでの所得は、税や社会保険料を差し引く前の額です。所得が平均値以下の世帯は、61.5%を占めていました⁠^[25]。

論文に平均値と標準偏差しか記載されていない場合でも、分布の歪みに気づけることがあります。対象は、在院日数のように、取りうる最小値が決まっているデータです⁠^[26]。

システマティックレビューは、同じ問いを扱った研究を網羅的に収集して統合する研究です。Cochrane（コクラン）は、システマティックレビューの手引きを作成している国際的な組織です。その手引きによると、平均値から取りうる最小値を引き、標準偏差で割った値が2より小さければ歪みが示唆され、1より小さければ歪みが強く疑われます⁠^[26]。

在院日数の例では、取りうる最小値を0日とすると、23.2日を19.4日で割って1.2となり、2より小さいので歪みが示唆されます。これは、平均値から標準偏差の2倍を引くと、ありえない負の日数になることと同じ意味です。

標準偏差と標準誤差の違い

標準偏差は個々の値のばらつきを表し、標準誤差は標本平均の精度を表します⁠^[27]。2つは名称が似ており、混同されやすい値です。英語の論文では、平均の標準誤差をSEと略して記載します⁠^[2]。

平均の標準誤差は、標準偏差を対象者数の平方根で割って求めます。同じ母集団から抽出する対象者数を増やすと、偶然による標本平均のばらつきが小さくなるので、標準誤差は小さくなります⁠^[27]。一方、標準偏差は、対象者数を増やしてもほとんど変わりません（図4）。

図4　同じ母集団から抽出する対象者数を変えたときの、標準偏差と平均の標準誤差。標準偏差を10としたときの計算。標準誤差は、標準偏差を対象者数の平方根で割った値（文献27をもとに作成）

データのばらつきを示すときは、標準誤差ではなく標準偏差を用います⁠^[27]。標準誤差は、平均値の95%信頼区間を求めるときに用いられます。95%信頼区間は、平均値の推定値がどの程度ばらつきうるかを、幅で示したものです。対象者数が多いときの95%信頼区間は、平均値から標準誤差の1.96倍を引いた値から、足した値までの範囲です⁠^[27]。信頼区間の考え方は、95%信頼区間の記事で説明しています。

標準偏差と標準誤差の混同は、論文でもしばしば見られます。2001年に麻酔科学の主要な4誌に掲載された860本の論文を調べたところ、198本（23%）が、対象者のばらつきを標準誤差で示していました⁠^[28]。標準誤差は、標準偏差より必ず小さい値です。そのため、ばらつきを標準誤差で示すと、ばらつきが実際より小さく見えます⁠^[28]。SAMPLも、データのばらつきを標準誤差で示さないよう求めています⁠^[2]。

まとめ

データの特徴は、中心を表す代表値と、ばらつきを表す散布度を組み合わせて示します。この形は、Queteletの平均に、GaltonとPearsonがばらつきを表す値を、Tukeyが中央値と箱で分布と外れ値を示す図を加えてできました。

正規分布に近いデータには平均値と標準偏差が、在院日数のような歪んだ分布のデータには中央値と四分位範囲が適しています。平均の標準誤差は標本平均の精度を表す値で、個々の値のばらつきを示す値ではありません。

米空軍の身体計測調査では、寸法ごとには平均値に近い人がいました。しかし、10の寸法すべてを条件にすると、該当する人は1人もいませんでした。平均値は集団の中心を示す数値で、その位置にいる1人の姿を示す数値ではありません。

さらに学びたい人へ：おすすめの本

• 小島寛之 著『完全独習 統計学入門』（ダイヤモンド社）：平均値、分散と標準偏差、標本平均の考え方を順に解説した統計学の入門書です。「平均値とはやじろべえの支点である」「データの散らばり具合を見積もる統計量——分散と標準偏差」などの講があります（2006年刊行、208ページ）。Kindle版もあります。