母集団と標本：一部を調べて全体がわかるか

200万人を超える有権者から回答を得た雑誌が、大統領選挙の勝者を取り違えました。米国の雑誌Literary Digest（リテラリー・ダイジェスト）は、大統領選挙を前に、投票先を尋ねるはがきを全国の有権者に送りました。返送されたはがきを補正せずに集計すると、挑戦者のLandon（ランドン）が、現職のRoosevelt（ルーズベルト）を上回っていました⁠^[1]。雑誌は、これまでの予想はすべて的中してきたと記していました。実際の選挙では、Landonは2つの州でしか勝てませんでした⁠^[2]。

回答はこれほど多く集まりましたが、予想は外れました。標本として調べた一部の人から、調べていない大勢の人の特徴を知るには、何が必要なのでしょうか。

この記事の要約（押すと開閉します）

• 定義：母集団は、調査によって特徴を知りたい集団の全体。標本は、母集団から選び出して実際に調べる一部。人だけでなく、物や事象の集まりも母集団になる
• 全数調査と標本調査：母集団のすべてを調べるのが全数調査、一部を選んで調べ、全体を推定するのが標本調査。対象となる患者さんの全員を調べることは難しいため、臨床研究では標本を調べる
• 生まれた経緯：1895年にKiærが、全体の縮図となる一部を調べる代表法を提案した。1906年から1926年にかけて、Bowleyが無作為に選ぶ方法の理論と調査を示した。1934年にNeymanが、意図して選んだ標本の問題を取り上げ、層化無作為抽出がすぐれていることと、無作為な標本から信頼区間を求められることを示した。いまの標本調査は、一部を調べる考え方と、無作為に選ぶ考え方を組み合わせたもの
• 母集団の決め方：標本を選ぶ前に、どの母集団から選ぶかを条件で定める。結果を当てはめたい集団を目標母集団と呼ぶ。目標母集団と、実際に標本を選べる集団は、同じとは限らない
• 標本の選び方：母集団のどの人も同じ確率で選ばれる無作為抽出が基本。ただし、選ばれた人が回答しなければ、偏りは残る。臨床研究では、受診した患者さんなど、集めやすい対象者を調べることが多い
• 標本誤差と偏り：標本を大きくすると、偶然による誤差は小さくなる。しかし、選び方や無回答による偏りは、対象者数を増やしても小さくならない
• 当てはめられる範囲：標本の結果は、標本がその母集団を代表しているといえる場合に限って、その母集団に当てはめられる。結果がほかの人や場面に当てはまる程度を、一般化可能性、または外的妥当性と呼ぶ
• 論文で確かめる点：研究の場所と時期、対象者の適格基準と選定方法、各段階の人数、対象者の特徴、当てはめられる範囲の考察

母集団と標本とは

母集団は調査によって特徴を知りたい集団の全体で、標本は母集団から選び出して実際に調べる一部です⁠^[3]。英語のpopulation（ポピュレーション）は、日常的には「人口」の意味ですが、統計学では意味が少し異なります。人だけでなく、物や事象の集まりも母集団になります⁠^[4]。

たとえば、変形性膝関節症の患者さんについて知りたいのであれば、その患者さんの全員が母集団です。変形性膝関節症は、膝関節の軟骨が摩耗し、関節が変形していく疾患です。母集団から選んで実際に調べた患者さんが、標本です。

母集団には、容易には調べきれないほど多くの人が含まれるのが通常です⁠^[4]。患者さんの全員を調べるには、時間も費用もかかりすぎます。そこで、標本を調べた結果から、母集団の特徴を推測します。母集団のすべてを調べる方法を全数調査、一部を選んで調べ、全体を推定する方法を標本調査と呼びます⁠^[3]。

母集団の平均を母平均、標本の平均を標本平均と呼びます。標本を調べる研究では、標本平均は計算できますが、母平均を直接計算することはできません。標本平均をもとに母平均を推測することを、推定といいます。平均や標準偏差の求め方は、データの代表値と散布度の記事で説明しています。母集団についての仮説を、標本のデータにもとづいて検証する方法は、仮説検定と呼ばれます。

母集団は、含まれる要素の数が有限か無限かによって、有限母集団と無限母集団に分けられます⁠^[5]。日本人全体は、数が決まっているので有限母集団です。工場の製品の不良率を調べる場合、製品は作られ続け、数に終わりがありません。このような場合は、無限母集団と考えます⁠^[5]。区別の基準は数であり、全員を調べられるかどうかではありません。

臨床研究では、今後同じ治療を受ける患者さんにも当てはまる答えを知りたいことがあります。まだ存在しない人まで含めた母集団は、数が定まらないので、無限母集団とみなすことができます。工場の製品の例と同じ考え方です。

母集団と標本の考え方が生まれるまで

いまの標本調査は、一部を調べて全体を推定するという考え方に、標本を無作為に選ぶという考え方が加わってできた方法です⁠^{[6, 7]}。2つの考え方は、それぞれ別の問題に答えるために生まれました。

図1　母集団と標本の考え方が生まれるまでの主な出来事。矢印の左はそのとき問題になったこと、右はそれに答えた方法。緑は、いまの標本調査のもとになった段階

ノルウェーの統計学者Anders Kiær（アンネシュ・キエール）は、社会の現象を深く理解するには、詳しい質問を数多く設ける必要があると考えました。しかし、そのような調査を国の全員に行うことは、負担が大きすぎてできない、と書いています⁠^[8]。当時は、人口の研究で正確な結果を得るには、全員を数える全数調査しかないと広く考えられていました⁠^[9]。

Kiærは、ノルウェー中央統計局の初代局長でした⁠^[6]。統計学者のBrewer（ブルーワー）によると、Kiærは1895年までの15年以上、国内で標本調査を行っていました。その調査から、全員を数えなくても役に立つ情報が得られると確かめていました⁠^[6]。そこでKiærは1895年、ベルンで開かれた国際統計協会の会議で、全体の縮図となるように選んだ一部を調べる方法を提案し、代表法と呼びました。

Kiærの提案は、強い反対を受けました⁠^[6]。Kiærは1897年の論文で、標本が全体の縮図といえるかは、選び方が正しいかと、標本が十分に大きいかで決まると書いています⁠^[8]。

Kiærの方法には、標本の選び方を説明する理論がない、という批判がありました⁠^[6]。1903年の国際統計協会の会議では、無作為に選べば、一部を調べる方法に客観的な根拠を与えられるかもしれない、という提案が出ました⁠^[6]。英国の統計学者Arthur Bowley（アーサー・ボウリー）は1906年の講演で、全数調査だけを正確とする見方を批判しました⁠^[9]。

Bowleyは1906年の講演で、無作為に選ぶ考え方を理論として発展させました⁠^[6]。1912年には、英国のReading（レディング）で、労働者の世帯を、家の名簿から等間隔に選ぶ系統抽出で調べました⁠^[7]。この調査を含む1915年の報告書の序文は、適切な抽出の方法を使えば、多くの目的に十分な調査を早く安く行えることが示された、と述べています⁠^[10]。

国際統計協会が1924年に代表法の委員会を設けると、Bowleyも委員になりました⁠^{[7, 9]}。Bowleyは委員会の報告の一部として、標本で得られる精度の測り方をまとめました⁠^[9]。協会は1925年、主にこの委員会の報告をもとに、標本調査を認める決議をしました⁠^{[6, 11]}。Bowleyの報告は1926年に公表され、層に分けてから各層で無作為に選ぶ層化無作為抽出の研究も含んでいました⁠^{[6, 7]}。

1925年の決議では、無作為に選ぶか、意図して選ぶかは、調査の実施者に任されていました⁠^[6]。イタリア王国中央統計局は1926年、別の資料を置くために、1921年の国勢調査の調査票を保管していた部屋を空けることになりました。それまでは、集計と公表が終われば調査票をすべて処分するのが慣例でしたが、一部の地区の調査票を、国全体を代表する標本として残すことにしました⁠^[12]。

イタリアの統計学者Gini（ジニ）とGalvani（ガルヴァーニ）は、214の地区から29の地区を選び、1929年に報告しました。出生率、死亡率、平均所得など7つの特徴の平均が、国全体の値とほぼ一致するように、意図して選んだ標本です⁠^{[6, 12]}。しかし、GiniとGalvaniは同じ報告の中で、選ぶときに使わなかった特徴については、この標本が国全体を十分に代表していなかったと書いています⁠^{[11, 12]}。

ポーランドの統計学者Jerzy Neyman（イェジ・ネイマン）は1934年の論文で、この標本を例に、意図して選ぶ方法の弱点を論じました⁠^[6]。そのうえで、当時の意図して選ぶ方法よりも、層化無作為抽出のほうが優れていることを示しました。無作為に選び、標本が十分に大きければ、母集団の性質がわからなくても、母平均の信頼区間を求められることも示しました⁠^[7]。

Neymanの考え方はその後の10年ほどで少しずつ受け入れられ、1940年の米国の国勢調査では、追加の質問に20人に1人の標本が使われました⁠^[6]。無作為抽出にもとづく標本調査は、社会科学の研究と公的統計の標準の方法になりました⁠^[7]。

標本調査、つまり一部を調べて母集団を推定する考え方は、Kiærの代表法をめぐる議論を経て、1925年に国際統計協会に認められました。標本の選び方のうち、無作為抽出と層化抽出の理論は、BowleyとNeymanの研究が基礎になっています⁠^{[6, 7]}。

信頼区間を、無作為な標本から求められることも、Neymanが1934年の論文で示しています⁠^[7]。Kiærの1897年の論文にも、標本の大きさと選び方の両方が大切だという見方が書かれています⁠^[8]。

母集団の決め方

標本を選ぶ前に、どの母集団から選ぶのかを決めておく必要があります⁠^[4]。母集団は、年齢や疾患の診断、重症度などの条件で定めます。論文では、この条件を、対象者の選定方法とあわせて記載します⁠^[13]。

結果を当てはめたい集団を、目標母集団と呼びます⁠^{[14, 15]}。目標母集団と、実際に標本を選べる集団は、同じとは限りません。ある地域の病院で患者さんを集めた研究では、その地域の、その時期の患者さんからしか標本を選べません。一方で、研究者は、日本全国の同じ疾患の患者さんについて知りたいのかもしれません。

研究者が要因を割り当てずに観察する研究を、観察研究といいます。観察研究の報告指針であるSTROBE（ストローブ）の解説論文は、対象者を選んだもとの集団を記載するよう求めています。たとえば、ある地域や国の一般住民、といった書き方です⁠^[13]。

標本から直接推測できる対象は、実際に標本を選べた集団に限られます。それをより広い集団に当てはめてよいかは、別に検討する必要があります（図2）。

図2　結果を当てはめたい集団、実際に標本を選べる集団、標本の関係

実際に標本を選べた集団から、より広い集団を推測した例に、ROAD（ロード）という研究があります。ROADは、地域住民を長年追跡し、膝関節と腰椎の疾患、骨粗鬆症を調べている研究です。2005年に始まり、特徴の異なる3つの地域で、3,040人の住民が参加しました⁠^[16]。

ROADの対象の疾患は、変形性膝関節症、変形性腰椎症、骨粗鬆症の3つです。骨粗鬆症は、骨がもろくなる疾患です。この研究では、膝と腰はX線写真で、骨粗鬆症は骨密度で判定しました⁠^[16]。X線写真や検査で見つかる変化を、所見といいます。

ROADでは、判定の結果をもとに、3つの疾患の少なくとも1つの所見がある40歳以上の人を、日本全体で4,700万人と推定しています⁠^[16]。この判定には、痛みなどの症状の有無は含まれていません。この推定は、3つの地域の参加者が日本の40歳以上の人を代表していると仮定したうえでのものです。

標本の選び方

無作為抽出は、標本が母集団を代表するように選ぶための基本の方法です。無作為抽出は、母集団に含まれるどの人も、同じ確率で標本に選ばれるようにする抽出法です⁠^[17]。無作為という語は、選ばれた人たちの性質ではなく、選び方を表しています⁠^[4]。

乱数は、規則なく並んだ数です。乱数で選べば、選ぶ人の好みや都合が入らないので、選び方による偏りを防げます⁠^[3]。ただし、選ばれた人が回答しなければ、回答した人と回答しなかった人の違いによる偏りは残ります。

無作為抽出には、いくつかの方法があります。母集団の全員から乱数で選ぶ単純無作為抽出のほかに、系統抽出、層化抽出、多段抽出があります（表1）。

たとえば、厚生労働省の国民健康・栄養調査は、国民の身体の状況、栄養素等の摂取量、生活習慣の状況を明らかにするための調査です。この調査では、全国から層化無作為抽出した300地区の世帯を調べています。対象は、およそ6,000世帯、18,000人です⁠^[18]。ある時点の状態をこのように調べる研究は、横断研究の一つの形です。

抽出法	方法と特徴
単純無作為抽出	母集団のすべての人の中から、乱数を用いて選ぶ。どの人も同じ確率で選ばれる
系統抽出	全員を順に並べ、最初の1人を無作為に決め、以降は10人ごとのように等間隔で選ぶ。単純無作為抽出の代わりによく用いられる
層化抽出	地域や年齢などの層にあらかじめ分けてから、層ごとに無作為に選ぶ。適切に層を分ければ、地域の偏りを避けたり、誤差を小さくしたりできる
多段抽出	先に地区を選び、次にその中から人を選ぶように、何段階かに分けて選ぶ。段階を増やすほど、費用は下がるが、誤差は大きくなる
集めやすい人を調べる	受診した患者さんや、研究に応募した人を調べる。英語では convenience sampling と呼ばれる。臨床研究に多い。標本がどの母集団を代表しているかは、はっきりしない

表1　標本の選び方（文献4、15、19をもとに作成）

臨床研究では、無作為に選んだ標本を使えないことが多く、集めやすい患者さんを調べることになります⁠^[4]。病院を受診した患者さんや、研究に応募した人を集める場合です。集めやすい人から集めるこの選び方は、英語でconvenience sampling（コンビニエンス・サンプリング）と呼ばれます⁠^[15]。

母集団の名簿がなければ、一人ずつ無作為に選ぶことはできません。集めやすい人から集めた標本では、どの母集団を代表しているのかがはっきりしません。そのため、報告ではまず標本の特徴を記載し、読者が、自分の担当する患者さんを代表しているかを判断できるようにします⁠^[4]。

無作為抽出は、ランダム化とは別のものです。無作為抽出は、母集団から標本を選ぶ方法で、標本が母集団を代表するように用います⁠^[17]。ランダム化は、集めた対象者を無作為に群に割り付ける方法で、群どうしの条件をそろえるために用います。ランダム化比較試験は、群どうしを正しく比較しやすい研究デザインです。一方で、参加者が目標母集団と異なることがあり、結果をほかの患者さんに当てはめにくいと説明されることがあります⁠^[14]。

標本誤差と偏りの違い

標本を大きくすると、偶然による誤差は小さくなります。しかし、選び方や回答者の偏りは小さくなりません。標本を選ぶことによって生じる誤差を、標本誤差と呼びます⁠^[20]。標本誤差は、バイアスの記事でいう偶然による誤差の一つです。

同じ母集団から何度も標本を選べば、そのたびに標本平均は少しずつ異なる値になります。この違いの大きさは、平均の標準誤差で表されます。実際の研究で得られる標本は1つですが、平均の標準誤差はその1つの標本から求められます⁠^[4]。標本の標準偏差を、対象者数の平方根で割ります⁠^[4]。標準偏差は、個々の値のばらつきの大きさを表します。

平均の標準誤差は標準偏差を対象者数の平方根で割って求めるので、対象者数を4倍にすると、標準誤差は半分になります。一方、選び方や回答者に偏りがあると、対象者数をいくら増やしても、推定値は真の値からずれたままです。

大統領選挙の予想は、この違いを示す例です。Literary Digestは1936年の選挙の前に、1,000万人の有権者にはがきで投票先を尋ねました⁠^[1]。尋ねる相手の名簿は、電話帳と自動車の登録名簿から作られていました。このように、標本を選ぶもとにする名簿を、抽出枠と呼びます⁠^{[15, 21]}。

はがきの回答率は24%でした⁠^[22]。実際の選挙では、Rooseveltが得票のおよそ61%を獲得しました⁠^[23]。48州のうち46州で勝利しています⁠^[2]。

のちにSquire（スクワイア）は、1937年にGallup（ギャラップ）社が行った世論調査のデータを用いて、予想が外れた理由を分析しました。Squireは、名簿で選ばれた人と回答を返送した人の両方に偏りがあり、2つが重なって予想が大きく外れたと結論しています⁠^[24]。

尋ねた人の全員が回答していれば、少なくともRooseveltの勝利は予想できた、ともSquireは述べています⁠^[24]。つまり、名簿の偏りだけでは勝敗は逆にならず、回答者の偏りが加わって予想が外れたことになります。

図3は、真の割合が60%の母集団から標本を選ぶ場合を、計算で示したものです。偏りなく選べば、対象者数が増えるほど、標本の割合は60%の近くに集まります。割合のぶれも、平均の標準誤差と同じように、対象者数の平方根に反比例して小さくなります。そのため、対象者数を100人から1万人へ100倍にすると、ぶれの幅はプラスマイナス9.6ポイントから0.96ポイントへと10分の1になります。

一方、名簿や回答者に偏りがあると、標本の割合は、たとえば45%のように真の値からずれて見えることがあります。その場合は、対象者数が増えても、45%の近くに集まるだけです。

図3　標本の大きさと、標本で求めた割合のぶれ。点は中心の値、線は95%の確率で入る範囲。説明のための計算

図3の範囲は、真の割合がわかっているものとして計算したものです。実際の研究では真の値はわからないので、標本で求めた値を中心に幅をとります。これが95%信頼区間で、幅は標本誤差の大きさから求めます。図3の偏った標本のように、幅が狭くても、真の値から離れていることがあります。

標本誤差を小さくしたいときは、標本を大きくします⁠^[20]。必要な対象者数の決め方は、検出力とサンプルサイズの記事で説明しています。偏りを小さくするには、対象者数ではなく、選び方や、選んだ人に回答してもらう方法を見直す必要があります。

集めた回答を、あとから計算で補正する方法もあります。回答者の構成を、ほかの資料でわかっている構成に近づけるように、回答の重みを変えて集計し直す方法で、ウエイト補正、または重み付けと呼ばれます⁠^[25]。Literary Digestの回答でも、1932年の選挙での投票先をもとに重み付けをすると、Rooseveltの勝利は予想できたと報告されています。ただし、得票率の推定値の偏りは大きく残りました⁠^[22]。

標本の結果を当てはめられる範囲

標本の結果は、標本がその母集団を代表しているといえる場合に限って、その母集団に当てはめられます⁠^[4]。無作為でない標本でよくみられる偏りとして、Swinscow（スウィンスコウ）とCampbell（キャンベル）は、次の3つを挙げています。

SwinscowとCampbellが挙げる1つ目は、病院の患者さんが、地域で診療を受けている患者さんと同じではないことです。研究に自ら応募した人は、応募しない人と同じではありません。質問紙を返送した人は、返送しなかった人と異なります⁠^[4]。

標本が母集団を代表しないときの問題は、2つに分けて考えます⁠^[13]。1つは、研究で求めた割合や、比較の結果そのものがゆがむことです。結果そのものがゆがむことを、選択バイアスと呼びます。回答者と無回答者の違いによって割合の推定がゆがむことも、選択バイアスの一つとされています⁠^[13]。

もう1つの問題として、標本が母集団を代表しないと、結果は正しくても、当てはめられる集団が限られます。研究の結果がほかの人や場面に当てはまる程度を、一般化可能性、または外的妥当性といいます⁠^{[13, 26]}。外的妥当性は、EBMの実践で、研究の結果を目の前の患者さんに適用するかを判断するときにも確認します。選び方による偏りの例と防ぎ方は、バイアスの記事で説明しています。

論文で確かめる点

論文では、対象者がどこで、いつ、どのような条件で、どのように選ばれたかを確認します。STROBEは、研究の場所と時期、対象者の適格基準と選定方法を記載するよう求めています⁠^[26]。各段階の人数と参加しなかった理由、対象者の特徴、結果を当てはめられる範囲の考察も、記載すべき項目として挙げています⁠^[26]。これらは、標本がどの母集団を代表しているのかを判断する手がかりになります（表2）。

確かめる点	論文で見るところ
場所と時期	どこで研究をしたか。対象者を集めた期間はいつか
対象者の適格基準と選定方法	どのような条件の人を対象にしたか。対象者をどこから、どの方法で選んだか
各段階の人数	候補となった人、適格性を確認した人、参加した人、最後まで追跡した人は、それぞれ何人か。参加しなかった人の理由。フロー図があるか
対象者の特徴	年齢や性別、重症度などの表。自分が結果を当てはめたい患者さんと比較する
当てはめられる範囲	結果をどの集団に当てはめられるか、つまり一般化可能性を、著者が考察しているか

表2　論文で確かめる点（文献26の項目5、6、13、14、21をもとに作成）

まとめ

母集団は知りたい集団の全体で、標本はそこから選んで実際に調べる一部です。標本調査では、意図して全体の縮図に近づけた標本が、選ぶときに使わなかった特徴では母集団と異なることがわかったあと、無作為に選ぶ方法が標準になりました。

標本から母集団を推定するとき、対象者数を増やせば、偶然による誤差は小さくなります。しかし、名簿の作り方や、回答者と無回答者の違いから生じる偏りは、対象者数を増やしても消えません。

Literary Digestの予想では、200万人を超える回答が集まりました。その名簿にも、回答を返した人の構成にも、偏りがありました。のちの分析では、名簿の偏りだけであれば勝敗は逆にならなかったこともわかりました。臨床の論文でも、対象者がどこから選ばれ、誰が回答し、誰が最後まで残ったかによって、結果を当てはめられる患者さんの範囲が変わります。

さらに学びたい人へ：おすすめの本

• ダレル・ハフ 著、高木秀玄 訳『統計でウソをつく法：数式を使わない統計学入門』（講談社ブルーバックス）：数式を使わずに統計の考え方を紹介した入門書で、統計の数字や図が人を誤らせる例を取り上げています。第1章の題は「かたよりはサンプルにつき物」です（1968年刊行、223ページ）。Kindle版もあります。