Pearsonのカイ二乗検定：人数の偏りは偶然で説明できるか

男女で自宅退院の割合に13ポイントの差があっても、カイ二乗検定のp値が0.05を超えたら、「男女で差はない」と書いてよいのでしょうか。有意でない結果を「差がない」と解釈する誤りは、よく見られると指摘されています⁠^[1]。

回復期リハビリテーション病棟の脳卒中患者169人で、自宅への退院が、男性では104人中63人で61%、女性では65人中31人で48%だったとします。この13ポイントの差は、男女で退院先が本当に異なることを示しているのでしょうか。それとも、この程度の人数の偏りは、偶然で説明できるのでしょうか。

この記事の要約（押すと開閉します）

• 定義：実際に数えた人数である観測度数と、仮説が正しければ期待される人数である期待度数のずれを、1つの数χ²にまとめる検定。偶然でもその程度以上のずれが起こる確率をp値として求め、人数の偏りが偶然で説明できるかを判断する。理論の分布に合うかを調べる適合度の検定と、2つの分類の関係を調べる独立性の検定がある
• 生まれた経緯：1900年にKarl Pearsonが、度数のずれをχ²にまとめてPを求める方法を示し、1904年に分割表の独立性の検定へ広げた。Pearsonの数え方では、2行2列の表の自由度は1ではなく3だった。Fisherが1922年と1924年に自由度の数え方を正し、1925年の教科書には（行の数−1）×（列の数−1）と書かれている
• 求め方：独立性の検定の期待度数は、各セルで「行の合計×列の合計÷全体の人数」で求める。各セルの（観測度数−期待度数）²÷期待度数を合計した値がχ²
• 自由度とp値：χ²をカイ二乗分布と比べてp値を求める。独立性の検定の自由度は（行の数−1）×（列の数−1）で、2行2列の表なら1。自由度1では、χ²が3.84を超えるとp＜0.05。データから推定した値を使うと、そのぶん自由度が減る
• 結果の読み方：p値はずれの大きさと人数の両方で決まり、差の大きさは示さない。人数や回数が多ければ、ごく小さなずれでも有意になる。割合の差や比、関連の強さの指標をあわせて示す
• 有意でないとき：p＞0.05でも「差がない」とは言えず、「差があるとは言い切れない」と言えるだけ。差の95%信頼区間で、データと両立する差の範囲を示す
• 前提：一人が一つのセルにだけ入る、対応のないデータに使う。同じ人を前後で2回数えるデータにはMcNemar検定を使う。期待度数が1未満のセルがあるときや、5未満のセルが2割を超えるときは、Fisherの正確確率検定などを検討する
• 調整済み残差：3行以上や3列以上の表で、どのセルが期待度数からずれているかを示す。絶対値が1.96を超えるセルは、そのセルだけを見れば5%水準でずれている。多くのセルを見るときは多重比較の補正を考える
• 使う場面：2つの分類の関係や、度数が理論の分布に合うかを調べたいときに使う。ランダム化比較試験で、群の背景の差を検定することは勧められていない
• SPSSでの手順：「分析」→「記述統計」→「クロス集計表」で、「統計量」の「カイ2乗」にチェックを入れる。出力の注で期待度数を確かめてから、「Pearsonのカイ2乗」の行を見る
• 結果の書き方：各群の人数と割合、割合の差と95%信頼区間、χ²、自由度、p値をあわせて書く

Pearsonのカイ二乗検定とは

Pearson（ピアソン）のカイ二乗検定は、観測度数と期待度数のずれを1つの数χ²にまとめ、そのずれが偶然で説明できる大きさかを調べる検定です⁠^[2]。観測度数は実際に数えた人数、期待度数は仮説が正しければ期待される人数です。カイ二乗はχ²と書き、英語ではPearson's chi-squared testと呼びます。性別や退院先のような、名義尺度のデータに使います⁠^[3]。

使い方は2つあります。サイコロの目の出方のように、観測度数を理論の分布から求めた期待度数と比べる使い方を、適合度の検定と呼びます。性別と退院先のように、2つの分類の間に関係があるかを調べる使い方を、独立性の検定と呼びます。どちらも、観測度数と期待度数のずれをχ²にまとめる点は同じです。

判断には、仮説が正しいとしたときに、偶然でもその程度か、それ以上のずれが起こる確率を使います。この確率がp値です⁠^[4]。p値が小さければ、人数の偏りは偶然だけでは説明しにくいと判断します。ただし、有意でなくても差がないとは言えず、期待度数が小さいときや、同じ人を2回数えるデータには、この検定をそのまま使えません。

Pearsonのカイ二乗検定が生まれるまで

いまのカイ二乗検定には、Pearsonが示したχ²とPの計算と、Fisher（フィッシャー）が1920年代に示した自由度の数え方が含まれています⁠^[5–7]。Pearsonの考え方には、いまの言葉でいう自由度の数え方に誤りがありました⁠^[6]。

図1　Pearsonのカイ二乗検定が生まれるまでの主な出来事。矢印の左はそのとき問題になったこと、右はそれに答えた方法。緑は、いまの手順のもとになった段階

英国の統計学者Karl Pearsonは、1893年の論文で、左右非対称な度数分布に曲線を当てはめる方法を示しました⁠^[5]。Pearsonはその後、観測された度数を理論の分布から求めた期待度数と比べ、当てはめが妥当かを判断する検定を作りました⁠^[5]。

1900年の論文でPearsonは、区分ごとの度数のずれを1つの値χ²にまとめました。そして、偶然でそれと同じか、それより大きなずれが生じる確率を求め、Pで表しました⁠^{[4, 8]}。いまのp値とこの論文の関係は、統計的仮説検定の記事で説明しています。

1900年の論文の例の1つは、Pearsonの同僚で動物学者のWalter Weldon（ウォルター・ウェルドン）のサイコロの記録でした⁠^{[5, 9]}。Weldonは、12個のサイコロを26,306回振って5か6の目が出た個数を数え、1894年2月2日付の手紙で報告しました⁠^[9]。Pearsonは、どの目も同じ確率で出るとしてPを0.000016と求め、サイコロは大きい目に偏っていると結論するのが妥当だと書いています⁠^{[4, 8]}。

同じ論文でPearsonは、いまの言葉でいえば、データから推定した値で期待度数を求めても自由度を減らす必要はない、と考えていました⁠^[6]。1902年に発表された、χ²からPを求める数表も、区分の数をそのまま使って引く形でした⁠^{[4, 7]}。

スコットランド生まれの統計学者George Udny Yule（ジョージ・ユール）は、Pearsonのもとで働いていました。Yuleは1900年に、2行2列の表で、2つの属性の関連を測る指標を示しています⁠^{[5, 10]}。1904年にPearsonは、χ²を分割表の分析に広げ、平均2乗分割係数を導入しました⁠^{[5, 11]}。Pearsonは、この係数による方法を、カイ二乗の独立性の検定とも呼んでいます⁠^[5]。

Pearsonの分割表の考え方によって、Yuleの2つの属性の関連の考え方は、個人を2つより多い群に分ける分類にも広がりました。2つの分類の関連の程度を、この係数と検定で調べられるようになりました⁠^[5]。ただし、Pearsonの数え方では、2行2列の表の自由度は1ではなく3でした⁠^[6]。

1915年には、2行2列の表のχ²が、2つの列を二項分布の度数として比べた結果と合わないことが指摘されましたが、原因は示されていませんでした⁠^[6]。英国の統計学者Ronald Fisherは、1922年の論文で分割表のχ²を扱いました。期待度数が行と列の合計に合わせて決まるので、そのぶん自由度が減ることを示しています⁠^{[6, 12]}。「自由度」という語も、この論文で導入しています⁠^[6]。

1924年にFisherは、適合度の検定一般について、データから値を推定すると、そのぶん自由度が失われることを示しました⁠^{[6, 13]}。ただし、Fisherの結果は、データに最もよく合う値を選ぶ方法で推定した場合のものです。最小カイ二乗法や最尤法が、その例です⁠^[6]。

1925年の研究者向けの教科書でFisherは、分割表の自由度を（行の数−1）×（列の数−1）とし、2行2列の表では1としています⁠^[7]。以前は、自由度を常に区分の数から1を引いた数とする考え方がありました。教科書には、この考え方が多くの食い違いを生み、その後否定された、とも書かれています⁠^[7]。

ずれをχ²にまとめてPを求める考え方は、Pearsonの1900年の論文にあります⁠^[4]。2つの分類の関係を調べる独立性の検定は、Pearsonが1904年に分割表へ広げた使い方と同じです⁠^[5]。自由度の数え方は、Fisherの1925年の教科書の書き方と同じです⁠^[7]。期待度数が5未満の区分を作らないようにまとめる考え方も、同じ教科書にあります⁠^[7]。

Pearsonのカイ二乗検定の求め方

独立性の検定の期待度数は、2つの分類に関係がないと仮定して、各セルで「行の合計×列の合計÷全体の人数」で求めます⁠^{[2, 3]}。セルは、表の中で人数を数える1つ1つの枠です。この求め方を、ポリオワクチンの試験の例で示します。

1954年、アメリカでは、Salk（ソーク）の不活化ポリオワクチンの効果を確かめるため、約180万人の子どもが参加する野外試験が行われました⁠^{[14, 15]}。この試験の一部の地域では、ワクチンとプラセボをランダムに割り付け、子どもの親も医師もどちらを受けたかを知らない方法で比べています⁠^{[16, 17]}。その地域では、ワクチン群の200,745人のうち33人、プラセボ群の201,229人のうち115人が、麻痺性ポリオになりました⁠^[18]（図2）。

図2　1954年のポリオワクチン試験のうち、プラセボと比べた地域の人数。濃い緑の数字は、麻痺性ポリオになった人数。薄い緑は、期待度数の計算に使う行と列の合計（文献17、18をもとに作成）

もしワクチンに効果がなければ、麻痺性ポリオになった148人は、2つの群の人数の比に従って分かれるはずです。2つの群はほぼ同じ人数なので、期待度数はワクチン群で148×200,745÷401,974＝73.9人、プラセボ群で74.1人です。観測度数はワクチン群で33人、プラセボ群で115人で、期待度数から大きく外れていました（図3）。

図3　麻痺性ポリオになった人数。実際の人数と、差がなければ期待される人数

χ²は、各セルで（観測度数−期待度数）²÷期待度数を求め、すべてのセルについて合計した値です⁠^[2]。ワクチン群の患者のセルは（33−73.9）²÷73.9＝22.6、プラセボ群の患者のセルは（115−74.1）²÷74.1＝22.6でした。患者にならなかった20万人のセルは、期待度数が非常に大きいため、ほとんど0です。合計したχ²は45.3でした（筆者の計算）。

ずれを2乗するので、プラスとマイナスが打ち消し合いません。期待度数で割るので、同じ人数のずれでも、期待度数が小さいセルほど重く数えられます。

カイ二乗分布と自由度

p値は、χ²を、関係がないときにχ²がとる値の分布、つまりカイ二乗分布と比べて求めます⁠^[2]。人数が十分に多ければ、2行2列の表のχ²は、自由度1のカイ二乗分布にほぼ従います。自由度1のとき、関係がないのにχ²が3.84を超える確率は5%です（図4）。ポリオの例の45.3は、関係がないとすればほぼ起こらない値で、p値は約0.00000000002でした（筆者の計算）。

図4　自由度1のカイ二乗分布。差がないときに3.84を超える確率は5%。緑の線は、脳卒中患者169人の例の値2.69

自由度は、表の行と列の合計を固定したときに自由に決められるセルの数で、独立性の検定では（行の数−1）×（列の数−1）です⁠^{[2, 7]}。2行2列の表では、1つのセルの値が決まれば、合計との差から残りの3つが決まるので、自由度は1です。

適合度の検定では、自由度は区分の数から1を引いた数が基本です。期待度数を求めるのにデータから推定した値を使うと、推定した値の数だけ、自由度はさらに減ります⁠^[7]。Weldonのサイコロで確かめてみます。5か6の目が出た個数を、0個から9個までと10個以上の11の区分に分けます。

偏りのないサイコロなら、1個のサイコロで5か6が出る確率は1/3です。そうであれば、12個のうち何個が5か6になるかは二項分布に従い、各区分の期待度数を計算できます。この期待度数と比べると、χ²は35.5、自由度は10、p値は約0.0001でした（筆者の計算）。

一方、5か6が出る確率を、データから求めた33.77%として期待度数を計算し直すと、χ²は8.2、p値は0.52でした（筆者の計算）。自由度は、確率を1つ推定したぶん減って9です。このサイコロは、ごくわずかに5と6が出やすかったと考えれば説明がつきます。推定したぶん自由度を減らす数え方は、Fisherが1924年に示しています⁠^{[6, 13]}。

Pearsonのカイ二乗検定の結果の読み方

p値は、ずれの大きさと人数の両方で決まり、差がどれくらい大きいかは示しません⁠^{[2, 4]}。図5は、Weldonのサイコロで、実際の回数から偏りのないサイコロで期待される回数を引いた差です。5か6が4個以下だった回はどれも期待より少なく、5個以上だった回はどれも期待より多くなりました。

図5　Weldonのサイコロを12個ずつ26,306回振った記録で、実際の回数から、偏りのないサイコロで期待される回数を引いた差（文献9のデータから筆者が計算）

それでも、26,306回の全体で5か6の目が出た割合は33.77%で、偏りのないサイコロで期待される33.33%との差は約0.4ポイントです。1回振っただけでは誰も気づかないこのずれでも、2万6千回振れば、p値は約0.0001になりました（筆者の計算）。人数や回数が多ければ、ごく小さなずれでも有意になります。

そのため、どれくらい違うかは、割合の差や比で別に示します。ポリオの試験では、10万人あたりの麻痺性ポリオの発生は、ワクチン群で16.4人、プラセボ群で57.1人でした。プラセボ群に対するワクチン群の比は0.29です（筆者の計算）。割合の比は相対危険度とオッズ比の記事で説明しています。

関連の強さは、ファイ、Cramer（クラメール）のV、オッズ比などの指標で表します⁠^[2]。カイ二乗検定は有意性の検定なので、関連の強さを表す指標とあわせて示すべきだとされています⁠^[3]。

脳卒中患者169人の例では、ファイとCramerのVが0.126、分割係数が0.125でした。オッズ比は1.69、その95%信頼区間は0.90〜3.15です（筆者の計算）。2行2列の表では、オッズ比や割合の差のほうが、臨床では解釈しやすいでしょう。

有意でない結果の読み方

p＞0.05でも、「差がない」とは言えません。「差があるとは言い切れない」と言えるだけです⁠^[1]。この取り違えが古くから指摘されてきたことは、統計的仮説検定の記事で紹介しています。脳卒中患者169人の例では、χ²は2.69、p値は0.10でした（筆者の計算）。

この例で、自宅退院の割合の差は男性−女性で12.9ポイントで、その95%信頼区間は−2.5〜28.2ポイントでした（図6、筆者の計算）。区間が0をまたいでいるので、5%水準では有意ではありません。しかし、データと両立する差の範囲は、女性のほうが2.5ポイント高い場合から、男性のほうが28.2ポイント高い場合までに及びます。

図6　脳卒中患者169人の模擬データで求めた、自宅退院の割合の差と95%信頼区間

仮に本当の自宅退院率が観測値どおり、男性60.6%、女性47.7%だったとします。それでも、男性104人と女性65人で有意になる確率、つまり検出力は約37%にすぎません。この13ポイントの差を80%の検出力で見つけるには、計画の段階で各群約234人を集める必要があります（筆者の計算）。結果を示すときは、p値だけでなく、差の大きさと95%信頼区間をあわせて書きます。

Pearsonのカイ二乗検定の前提

カイ二乗検定は、比べる群が互いに独立で、一人が一つのセルにだけ入るデータに使います⁠^[2]。同じ患者で、介入の前と後に「歩けたか、歩けなかったか」を比べるような対応のあるデータには使えません。前後で同じ人が2回数えられ、観測が独立でなくなるからです。データの種類による使い分けは、統計データの尺度水準の記事で説明しています。

対応のあるデータには、前後で変化した人の数に注目するMcNemar（マクネマー）検定を使います⁠^[19]。SPSSでは、1人1行のデータに、前と後の結果を2つの変数として入力し、クロス集計表の行と列にそれぞれを入れます。そして、「統計量」でMcNemarにチェックを入れれば計算できます。

もう1つの前提は、期待度数がある程度大きいことです。χ²は、期待度数が十分に大きいときに、カイ二乗分布でよく近似できます。よく使われる目安は、期待度数が1未満のセルがなく、5未満のセルが全体の2割以下であることです⁠^[2]。2行2列の表では1つのセルが全体の25%にあたるので、この目安は、最小の期待度数が5以上であることと同じになります。

2行2列の表では、最小の期待度数を5以上とするよう勧められてきました。この勧めは、FisherとCochran（コクラン）にならったものとされます。ただし、Cochran自身は、5という数を任意に選んだと述べていました⁠^[20]。

Campbell（キャンベル）は、小さな標本の2行2列の表で7つの検定を比べました⁠^[20]。このうち「N−1」カイ二乗検定は、ふつうのχ²に、全体の人数Nを使った（N−1）÷Nを掛ける方法です⁠^[21]。最小の期待度数が1以上なら「N−1」カイ二乗検定、1未満ならFisherの正確確率検定を使う方針が、Cochranの勧めより検出力が高くなりました⁠^[20]。使い分けは、Fisherの正確確率検定の記事で説明しています。

SPSSの「連続修正」は、1934年にYates（イェーツ）が提案した補正です⁠^[22]。この補正については、人事選考の分野で、小さな標本を想定したシミュレーション研究があります。補正をしたカイ二乗検定は、第一種の過誤が名目上の水準より小さくなりすぎ、検出力も低いため、Fisherの正確確率検定とともに勧められないとされました⁠^[23]。

調整済み残差の読み方

3行以上や3列以上の表で、どのセルが期待度数からずれているかは、調整済み残差で調べます⁠^[24]。カイ二乗検定が有意になっても、それだけでは、どのセルがずれているのかは分かりません。調整済み残差は、観測度数と期待度数の差を、その標準誤差で割った値です。関係がなければ、近似的に標準正規分布に従います⁠^[25]。

調整済み残差の絶対値が1.96を超えるセルは、そのセルだけを見れば、5%水準でずれていると判断できます。ただし、多くのセルを同時に見ると、偶然に1.96を超えるセルが出やすくなります。多くのセルの残差を判断に使うときは、多重比較の補正を考えます。

シミュレーション研究では、全体の検定が有意だったときだけ残差を調べる方法でも、第一種の過誤が名目上の水準の最大6倍になりました。この結果は、表の大きさや周辺度数の分布によって変わります。著者らは、ブートストラップによる多重検定の補正を行えば、名目上の水準を保てることを示しています⁠^[26]。

Pearsonのカイ二乗検定を使う場面

Pearsonのカイ二乗検定は、性別と退院先のような2つの分類の関係や、度数が理論の分布に合うかを調べたいときに使います⁠^{[2, 3, 5]}。3つ以上の群を比べる表にも使えます⁠^[3]。

一方、ランダム化比較試験で、介入群と対照群の背景の差をカイ二乗検定で調べることは勧められていません。この検定は、共著者や査読者から求められることもあります⁠^[27]。CONSORT（コンソート）声明は報告の指針で、その2010年の解説は、ランダム化が正しく行われていれば、背景の違いはすべて偶然によるとしています。そのため、ベースラインの差の検定は、誤りとまでは言えないが論理的ではないと述べています⁠^[28]。

2025年の改訂版の解説では、ベースラインの差の有意性の検定は勧められず、報告すべきでないとされました⁠^[29]。解析で調整する変数を、ベースラインの検定の結果で選ぶべきではないとも指摘されています⁠^[27]。試験の進め方はランダム化比較試験の記事で、群の背景がそろう理由はランダム化の記事で説明しています。

SPSSでの手順と出力の見方

SPSSでは、「分析」→「記述統計」→「クロス集計表」を選び、「統計量」で「カイ2乗」にチェックを入れます。例は、脳卒中患者169人の男女の自宅退院の模擬データです。データは、1人を1行として、性別と、自宅かそれ以外かの転帰先を、2つの列に入力します。

1. メニューの「分析」→「記述統計」→「クロス集計表」を選びます（図7）。

図7　クロス集計表のメニュー

2. 「性別」を行に、「転帰先」を列に入れます。「統計量」で「カイ2乗」「分割係数」「PhiおよびCramer V」に、「セル」で「調整済みの標準化」にチェックを入れて、「OK」を押します（図8）。

図8　クロス集計表のダイアログでの設定

3. 結果が出力されます（図9）。

図9　SPSSの出力。期待度数の条件の確かめ方は本文を参照

出力では、まず「カイ2乗検定」の表の下の注で、期待度数が5未満のセルの割合を確かめます。この例では「0セル（0.0%）」で、最小の期待度数は28.85でした。期待度数の条件を満たしているので、「Pearsonのカイ2乗」の行を見ます。χ²は2.690、自由度は1、「漸近有意確率（両側）」は0.101で、p＜0.05ではありませんでした（表1）。

出力の行	意味とこの例の値
Pearsonのカイ2乗	ふつうに見る行。 2.690、p＝0.101
連続修正	Yatesの補正。p値が大きめに出る。 2.194、p＝0.139
尤度比	尤度比検定、G検定とも呼ぶ。人数が多ければPearsonのカイ2乗とほぼ同じ。 2.687、p＝0.101
Fisherの直接法	期待度数が小さいときに使う正確な検定。 両側p＝0.113
線型と線型による連関	2行2列の表では「N−1」カイ二乗と同じ値。 2.674、p＝0.102
ファイ、CramerのV、分割係数	関連の強さ。Vは0〜1、2行2列の表のファイは−1〜1。 ファイとVは0.126、分割係数は0.125

表1　2行2列の表での、SPSSのカイ2乗検定の出力の主な行と、脳卒中患者169人の模擬データでの値

「線型と線型による連関」の値2.674は、Pearsonのカイ2乗の値2.690に、（169−1）÷169を掛けた値と一致します（筆者の計算）。この値は、「N−1」カイ二乗検定の値です⁠^[20]。また、調整済み残差の1.6は、2行2列の表では、χ²の平方根である√2.690＝1.64と同じ大きさになります（筆者の計算）。

結果の書き方

結果は、各群の人数と割合、割合の差と95%信頼区間、χ²、自由度、p値をあわせて書きます。有意でなかったときも「差がない」とは書かず、差の大きさと信頼区間を示します⁠^[1]。脳卒中患者169人の例なら、次のように書きます。

まとめ

Pearsonのカイ二乗検定は、観測度数と期待度数のずれを、（観測度数−期待度数）²÷期待度数の合計という1つの数χ²にまとめます。そして、偶然でもその程度以上のずれが起こる確率としてp値を求め、人数の偏りが偶然で説明できるかを判断します。p値は、ずれの大きさと人数の両方で決まります。そのため、p値に加えて、差の大きさと95%信頼区間をあわせて示します。

Weldonのサイコロでは、0.4ポイントのずれでも、2万6千回分のデータがあればp値は約0.0001になりました。一方、脳卒中患者の例の人数では、13ポイントの差でもp値は0.05を超えました。その場合も、「差がない」とは言えず、「差があるとは言い切れない」と言えるだけです。また、期待度数が小さいときや、同じ人を2回数えるデータには、そのままでは使えません。

いまの手順には、Pearsonが1900年に示したχ²とPの考え方と、Fisherが1920年代に正した自由度の数え方が、あわせて含まれています。2行2列の表の自由度も、Fisherが正すまでは1ではなく3とされていました。

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